c - 求 Z(n) 中 x 的乘法逆元，扩展欧几里德算法

Question

我正在尝试使用 GMP 库查找 x 的乘法逆；我知道有一个内置函数，但我想编写自己的函数。
这是我扩展的欧几里得算法实现:

void extended_euclides(mpz_t r,mpz_t x,mpz_t y,mpz_t a, mpz_t b){
    mpz_t r_2,r_1,x_2,x_1,y_2,y_1,q,tmp;

    mpz_inits(r,x,y,NULL);

    mpz_init_set(r_2,a);
    mpz_init_set(r_1,b);
    mpz_init_set_ui(x_2,1);
    mpz_init_set_ui(y_2,0);
    mpz_init_set_ui(x_1,0);
    mpz_init_set_ui(y_1,1);
    mpz_init_set_ui(q,0);
    mpz_init_set_ui(tmp,0);

    do{
        mpz_fdiv_qr(q,r,r_2,r_1);   
        //x
        mpz_mul(tmp,q,x_1);
        mpz_sub(x,x_2,tmp);
        //y
        mpz_mul(tmp,q,y_1);
        mpz_sub(y,y_2,tmp);

        mpz_set(x_2,x_1);
        mpz_set(x_1,x);     

        mpz_set(y_2,y_1);
        mpz_set(y_1,y);

        mpz_set(r_2,r_1);
        mpz_set(r_1,r);
    }while(mpz_cmp_ui(r,0)!=0);

    mpz_set(r,r_1);
    mpz_set(x,x_2);
    mpz_set(y,y_2);

    mpz_clears(r_2,r_1,x_2,y_2,x_1,y_1,q,tmp,NULL);
}

它适用于所有小数字和一些大数字，但不适用于所有数字，我不知道为什么。它不起作用的示例数字:

a=99493485436357509294299436068793093643611893389896126764674829386592836165461754466092785338067969036756243799506670417432259164622123562781847156006846186608672621538507317131150760491084706497192710261706218845591564505899259562270249156644155861984060987885202877640033289062925176647874893491223532714128
b=202287573793610924311033969010234326099

如果我将 b 更改为:

b=202287573793610924311033969010234326199

它工作正常(我把右边的第一个 0 改成了 1)；我得到的结果是:

-26280231501456618600907242915048902345641123248519760433640466576442417888637174268721528225514196371138187569270563190841794774411834326405888357503240710494456394764379952360665884114850067939183395690214208147924280567331029828334399167395301049535292042342359035346464834873473183771024039179653285711685

由 GMP 函数计算并由我在等式 b*b^-1 ≡ 1 mod (a) 中检查的正确结果是:

73213253934900890693392193153744191297970770141376366331034362810150418276824580197371257112553772665618056230236107226590464390210289236375958798503605476114216226774127364770484876376234638558009314571492010697667283938568229733935849989248854812448768945542843842293568454189451992876850854311570247002443

Answer 1

如果 a 和 b 互质，扩展欧几里得算法找到 x 和 y 使得

x a + y b == 1

但 x 或 y 可能为负。对于 y = b 模 a 的倒数，

if y < 0 then y = y + a,

这会将 y 转换为模 a 的适当值(请注意我之前的评论)。

维基示例发现 t = 模 n 的倒数，并具有相同的检查:

if t < 0 then t = t + n 

http://en.wikipedia.org/wiki/Extended_Euclidean_algorithm#Modular_integers