java - 总和(1/质数[i]^2)> = 1？

Question

在尝试设计算法时，我偶然发现了这个问题。这不是家庭作业。

令 P_i = 前 i 个素数的数组。现在我需要最小的 i 这样

Sum<n=0..i> 1 / (P_i[n]*P_i[n])  >=  1.

(如果这样的 i 存在)。

第 i 个素数的近似值是 i*log(i)。所以我在 Java 中尝试了这个:

public static viod main(String args[]) {
    double sum = 0.0;
    long i = 2;

    while(sum<1.0) {
        sum += 1.0 / (i*Math.log(i)*i*Math.log(i));
        i++;
    }

    System.out.println(i+": "+sum);
}

但是上面没有结束，因为它收敛到 0.7。但是 1/100000000^2 在 Java 中四舍五入为 0.0，所以这就是它不起作用的原因。出于同样的原因，如果您将第 6 行替换为

，它甚至不起作用

sum += 1.0 / (i*i)

如果我没记错的话应该达到 1，因为总和应该比 1/2^i 更快，后者收敛到 1 。换句话说，这表明 Java 舍入导致总和未达到 1。我认为我的问题的最小 i 应该存在。

Answer 1

在这个问题的数学方面，而不是 java 方面:

如果我理解问题，则没有解决方案(没有 i 值)。

对于任何有限的素数集 P_i {p_1, p_2,...p_i} 设 N_i 是直到 p_i, {1,2,3,...,p_i} 的所有整数的集合。总和 1/p^2(对于 P_i 中的所有 p_n)将小于 N_i 中 x 的所有 1/x^2 的总和。

1/x^2 的总和 tends to ~1.65但由于 1 永远不会出现在素数集中，因此总和被限制在 ~0.65