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我正在尝试找出如何为可以使用动态规划解决的问题找到最佳路径。我对我们尝试优化空间的情况很感兴趣。
为了更好地解释我的问题,让我们考虑一下背包问题。
设如下3项:
I1 I2 I3
---------------------------
Val 5 4 3
Weight 4 5 2
这里的最优路径是应该为最优解选择的项目。
递归关系如下:
Let n be the nth item
let c be the remaining capacity in the knapsack
f(n, c) = 0 // if n=0
f(n, c) = f(n-1, c) // if weight[n] > c
f(n, c) = max(f(n-1, c), value[n] + f(n-1, c-weight[n])) // if weight[n] <= c
我已经基于这个递归关系(在java中)写了一个DP解决方案,没有做任何空间优化如下:
public static void main(String[] args) {
int[] value = {5, 4, 3};
int[] weight = {4, 5, 2};
int capacity = 9;
int[][] dp = new int[value.length+1][capacity+1];
for(int i=0; i<=value.length; i++) {
for(int j=0; j<=capacity; j++) {
if(i==0) {
dp[i][j] = 0;
} else {
if(weight[i-1] <= j){
dp[i][j] = Math.max(dp[i-1][j], value[i-1] + dp[i-1][j - weight[i-1] ]);
} else {
dp[i][j] = dp[i-1][j];
}
}
}
}
System.out.println("optimal value is: " + dp[value.length][capacity]);
}
这会打印出最优解 9。
我现在想找出哪些项目构成了最佳解决方案(在本例中为 I1、I2)。
我使用的逻辑如下:
矩阵dp[][]如下:
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 5 5 5 5 5 5
0 0 0 0 5 5 5 5 5 9
0 0 3 3 5 5 8 8 8 9
dp[][] 中的第 4 行(索引 3)对应于项目 3,因此我将 dp[3][9](右下角)与 dp[2][9] 进行比较。由于两个值相同,我知道未选择第 3 项。我去 dp[2][9]。
这个操作的结果是:[1, 1, 0] 其中 1 表示 item1,item2 被拿走了,0 表示 item3 没有被拿走。
我的问题是:
优化空间时如何找到路径(在本例中为挑选的项目)?有可能吗?
例如,我可以不使用矩阵,而是使用 2 个数组并按如下方式更改程序:
public static void main(String[] args) {
int[] value = {5, 4, 3};
int[] weight = {4, 5, 2};
int capacity = 9;
int[] row0 = new int[capacity+1];
int[] row1 = new int[capacity+1];
for(int i=0; i<=3; i++) {
for(int j=0; j<=capacity; j++) {
if(i==0) {
row1[j] = 0;
} else {
if(weight[i-1] <= j) {
row1[j] = Math.max(row0[j], value[i-1]+ row0[j-weight[i-1]]);
} else {
row1[j] = row0[j];
}
}
}
for(int j = 0; j< row0.length; j++)
row0[j] = row1[j];
}
System.out.println("optimal value is: " + row1[capacity]);
}
如果我这样做,我最多只有最后两行:
row0 = { 0 0 0 0 5 5 5 5 5 9 }
row1 = { 0 0 3 3 5 5 8 8 8 9 }
仅此信息如何追溯路径?
最佳答案
没有一个好的解决方案可以解决所有的 DP 问题。
例如,对于这个问题,我会为每个可访问的总和保留一个位掩码,以指示您选择了哪些元素来生成该总和。这适用于背包,因为元素的数量很少,选择顺序无关紧要。
对于许多其他 DP 问题(例如 LCS 或最短路径),将路径记住为倒序链表会很有效。这些列表共享尾部,通常您必须记住的列表具有相似的历史。每隔一段时间,您可能需要扫描结构以确保它仍然紧凑。当您确实需要时,您可以删除每第 N 个元素,这将要求您在重建路径时进行小型搜索以连接每一对。
关于algorithm - 动态规划问题中的最优路径,我们在Stack Overflow上找到一个类似的问题: https://stackoverflow.com/questions/58140839/
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