algorithm - Google Code Jam 2008 第 1A 轮第 3 题

Question

对于problem statement在 google codejam 2008:第 1A 轮问题 3

In this problem, you have to find the last three digits before the decimal point for the number (3 + √5)ⁿ.

For example, when n = 5, (3 + √5)⁵ = 3935.73982... The answer is 935.

For n = 2, (3 + √5)² = 27.4164079... The answer is 027.

我的解决方案基于 T(i) = 6*T(i-1) - 4*T(n-2) + 1 的想法，其中 T(i) 是 n=i 的整数部分，如下所示下面:

#include<stdio.h>
int a[5000];
main(){
    unsigned long l,n;
    int i,t;
    a[0]=1;
    a[1]=5;
    freopen("C-small-practice.in","r",stdin);
    scanf("%d",&t);
    for(i=2;i<5000;i++)
            a[i]=(6*a[i-1]-4*a[i-2]+10001)%1000;
    i=t;
    for(i=1;i<=t;i++){

            scanf("%ld",&n);
            printf("Case #%d: %.3d\n",i,a[(int)n]);
    }
    fclose(stdin);
}

在 a[i]=(6*a[i-1]-4*a[i-2]+10001)%1000; 行中我知道会有整数溢出，但我不知道为什么通过添加 10,000 我得到了正确的答案。我正在使用 GCC 编译器，其中 sizeof(int)=4

谁能解释一下发生了什么？

Answer 1

首先，线

a[i]=(6*a[i-1]-4*a[i-2]+10001)%1000;

实际上不应该导致任何溢出，因为您将所有先前的值保持在 1000 以下。

其次，您是否考虑过如果 6*a[i-1]-4*a[i-2]+1 为负数会发生什么情况？模数运算符不必总是返回正值；它也可以返回负值(如果你除的东西本身就是负数)。

通过添加 10000，您已确保无论先前的值是多少，该表达式的值都是正的，因此 mod 将给出正整数结果。

关于第二点的扩展，这里是 C99 规范的 6.5.5.6:

When integers are divided, the result of the / operator is the algebraic quotient with any fractional part discarded. If the quotient a/b is representable, the expression (a/b)*b + a%b shall equal a.

“丢弃”一词旁边的注释指出 /“截断为零”。因此，要使第二句话为真，当 a 为负时 a % b 的结果本身必须为负。