algorithm - 计算具有至多 k 个不同元素的子集的数量

Question

给定一组整数，计算最多具有 k 个不同元素的子集的数量。
例如:集合为 {1,1,2,3,3} 且 k = 2:

可能的子集是:
{} - 空集
{1}
{1}
{2}
{3}
{3}
{1,1}
{1,2}
{1,3}
{1,3}
{1,2}
{1,3}
{1,3}
{2,3}
{2,3}
{1,1,2}
{1,1,3}
{1,1,3}
{1,3,3}
{1,3,3}
{2,3,3}
{1,1,3,3}
我的解决方案是迭代所有可能的子集并检查是否有更少的 k+1 个元素..但是它太慢了.. O(2^n)

Answer 1

让我们将您的值集压缩为类似 S = [1:2, 2:1, 3:2] 的表示，您只需保存每个元素的值和计数并分配它们一些命令。令 n 为序列 S 的大小。然后您有 2^count 种可能性来为每个值选择一个子集。

对于每个组，您都必须决定是否接受。如果你接受它，不同值的数量会增加，你有 2^count - 1 种可能性。否则，不同值的数量将保持不变。

这会产生以下 DP 方法:让 f(i, k) 是从索引 i 开始做出决策的方法的数量，假设您只允许使用 k 个不同的值。

递归是

f(n, k) = 1   if k >= 0
f(n, k) = 0   if k < 0
f(i, k) = f(i + 1, k) + (2^count[i] - 1) * f(i + 1, k - 1)

导致 O(n * k) 算法。结果将是 f(0, k)。