c - 在平面上反射格子上的一个点

Question

我有一个大小为 lx * ly * lz 的三维格子，在所有三个边上都具有周期性边界条件。我的平面对称切割是两个水平和垂直平面(斜率 0 和 inf)加上两个垂直于 xy 平面、yz 平面和 xz 平面的对角线切割(斜率 -1 和 +1)。所以我总共有 9 种类型的平面，它们都穿过格点而不是它们之间。

这些切口中的每一个都可以穿过垂直于它们的平面上的任何位置。例如，垂直于 xy 平面的斜率为 0 的切割可以通过任何 ly 点。垂直于 xy 平面的斜坡 inf 切割可以通过任何 lx 点。垂直于 xy 平面的斜率 +1 切割可以通过任何 lx 相交。垂直于 xy 平面的斜率 -1 切割可以通过任何 ly 相交。

现在在 0 和 (lx * ly * lz)-1 之间的格子上给定一个站点 i，我想反射(reflect)它关于 1 和 9 之间的随机切割 c 中的任何一个。最快的算法是什么最好在“C”中计算反射晶格位置。

该算法应采用三个输入，即站点 i 、切割类型 c 以及切割通过的交叉点，在 0 和 lx-1 或 0 和 ly-1 或 0 和 lz-1 之间，具体取决于剪切并输出反射站点。

Answer 1

将平面写成方程

我宁愿谈论这些平面的法线而不是“斜率”。所以我理解你的问题的方式，你有

xy plane, slope  0 ⇒ normal (0,  1,  0)
xy plane, slope  ∞ ⇒ normal (1,  0,  0)
xy plane, slope  1 ⇒ normal (1, -1,  0)
xy plane, slope -1 ⇒ normal (1,  1,  0)
xz plane, slope  0 ⇒ normal (0,  0,  1)
xz plane, slope  ∞ ⇒ normal (1,  0,  0)
xz plane, slope  1 ⇒ normal (1,  0, -1)
xz plane, slope -1 ⇒ normal (1,  0,  1)
yz plane, slope  0 ⇒ normal (0,  0,  1)
yz plane, slope  ∞ ⇒ normal (0,  1,  0)
yz plane, slope  1 ⇒ normal (0,  1, -1)
yz plane, slope -1 ⇒ normal (0,  1,  1)

所以这9种平面对应的是法线方向

(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1),
(1, 1, 0), (1, 0, 1), (0, 1, 1),
(1, -1, 0), (1, 0, -1), (0, 1, -1)

对于这些方向中的每一个，您都可以采用法 vector (a, b, c)并将其转化为平面方程:

a*x + b*y + c*z = d

但是 d 的值是多少？可以吗？对于上面的第一行，平行于其中一个坐标平面的平面，事情很简单:对于 (a, b, c) = (1, 0, 0)你有0 ≤ d < lx , 和其他两个类似。对于对角线平面，您的(在我看来很奇怪)拦截规则成立。如果我没理解错的话，(1, -1, 0)飞机可以通过 x 上的任何一点轴，通向 0 ≤ d < lx再次。 (1, 1, 0)飞机可以通过 y 上的任何一点轴，所以你有0 ≤ d < ly .对于其他对角线，请计算出 d 的边界自己。

在这样的平面上反射

现在您有了一个平面的方程式，并想在该平面上反射(reflect)。 The link Woodface provided在这里考虑基本上是正确的事情，但您可能更喜欢该想法的更简单表述。首先将平面方程重写为

a*x + b*y + c*z - d = 0

如果左侧不为零，则给定点不位于平面上。在这种情况下，您获得的值与该点与平面的距离成正比。暂时假设 a²+b²+c²=1 .在这种情况下，左侧的值确实是距平面的距离。将该数字乘以法 vector (a, b, c)您将获得一个从平面指向相关点的 vector 。将数量乘以 -(a, b, c)相反，你得到一个从点指向平面的 vector ，并乘以 -2*(a, b, c)你会得到一个从该点指向它的镜像的 vector 。

但是如果 a²+b²+c²≠1 怎么办？ ？在这种情况下，等式左边的值将是sqrt(a²+b²+c²)。实际距离的倍数。然后将该距离乘以一个不是单位长度但长度为sqrt(a²+b²+c²)的 vector 相反，因此您的最终结果 vector 将太大 a²+b²+c²总共。因此，您所做的就是根据该因素进行缩放。

总结一下:反射(reflect)一个点(x, y, z)在飞机上a*x + b*y + c*z = d你计算

(x, y, z) - 2/(a² + b² + c²)*(a*x + b*y + c*z - d)*(a, b, c)

或用C代码编写:

int f = 2/(a*a + b*b + c*c)*(a*x + b*y + c*z - d);
x = x - f*a;
y = y - f*b;
z = y - f*z;

您可以使用 int这里因为对于你的法 vector ，a²+b²+c²将是 1或 2 , 所以 2/(a*a + b*b + c*c)将始终是一个整数。