algorithm - Matlab:没有 gmdistribution 的高斯混合模型的 EM

Question

我必须在给定数据集上使用四个分量来训练高斯混合模型。该集合是三维的，包含 300 个样本。

问题是我无法使用对数似然检查收敛性，因为它是 -Inf。这是在评估责任公式中的高斯分布时四舍五入的零值的结果(参见 E-step)。

你能告诉我到目前为止我对 EM 算法的实现是否正确吗？以及如何解决舍入零值的问题？

这是我对 EM 算法的实现(一次迭代):

首先，我使用 kmeans 初始化分量的均值和协方差:

load('data1.mat');

X = Data'; % 300x3 data set
D = size(X,2); % dimension
N = size(X,1); % number of samples
K = 4; % number of Gaussian Mixture components

% Initialization
p = [0.2, 0.3, 0.2, 0.3]; % arbitrary pi
[idx,mu] = kmeans(X,K); % initial means of the components

% compute the covariance of the components
sigma = zeros(D,D,K);
for k = 1:K
    sigma(:,:,k) = cov(X(idx==k,:));
end

对于E-step，我使用以下公式来计算责任

对应的代码如下:

gm = zeros(K,N); % gaussian component in the nominator - 
                 % some values evaluate to zero
sumGM = zeros(N,1); % denominator of responsibilities
% E-step:  Evaluate the responsibilities using the current parameters
% compute the nominator and denominator of the responsibilities
for k = 1:K
    for i = 1:N
        % HERE values evalute to zero e.g. exp(-746.6228) = -Inf
        gm(k,i) = p(k)/sqrt(det(sigma(:,:,k))*(2*pi)^D)*exp(-0.5*(X(i,:)-mu(k,:))*inv(sigma(:,:,k))*(X(i,:)-mu(k,:))');
        sumGM(i) = sumGM(i) + gm(k,i);
    end
end
res = zeros(K,N); % responsibilities
Nk = zeros(4,1);
for k = 1:K
    for i = 1:N
         res(k,i) = gm(k,i)/sumGM(i);
    end
    Nk(k) = sum(res(k,:));
end

Nk(k) 是使用 M 步中给出的公式计算的。

M 步

% M-step: Re-estimate the parameters using the current responsibilities
mu = zeros(K,3);
for k = 1:K
    for i = 1:N
        mu(k,:) = mu(k,:) + res(k,i).*X(k,:);
        sigma(:,:,k) = sigma(:,:,k) + res(k,i).*(X(k,:)-mu(k,:))*(X(k,:)-mu(k,:))';
    end
    mu(k,:) = mu(k,:)./Nk(k);
    sigma(:,:,k) = sigma(:,:,k)./Nk(k);
    p(k) = Nk(k)/N;
end

现在为了检查收敛性，使用以下公式计算对数似然:

% Evaluate the log-likelihood and check for convergence of either 
% the parameters or the log-likelihood. If not converged, go to E-step.
loglikelihood = 0;
for i = 1:N
    for k = 1:K
         loglikelihood = loglikelihood + log(gm(k,i));
    end
end

loglikelihood 是 -Inf 因为 E-step 中的某些 gm(k,i) 值为零。因此对数显然是负无穷大。

我该如何解决这个问题？

是否可以通过提高 Matlab 的精度来解决？

还是我的实现有问题？

Answer 1

根据公式，您应该计算 gm 数量之和的对数。 (所以，日志(总和(gm(i，:))))。在这 k 个组件中，至少有一个组件的可能性大于 0。这将有望解决您的问题。

另一个非常普遍的评论，当数字对于指数函数这样的函数来说太大时，并且当您确定您使用的公式正确时，您总是可以尝试使用数量的对数。但是你不需要在这里这样做，因为 0 是 exp(-746) 的一个很好的近似值；)