algorithm - 如何设计以下动态规划算法

Question

我们有 n 个邮票，其中每个邮票 i 都有特定的面额 d(i) 和大小 s(i)。所有面额都是不同的，我们可以多次使用邮票面额。现在我想设计一个算法，给定邮票的 d(i) 和 s(i) 以及邮资数额 p，找到最小的邮票总尺寸，其面额将恰好加到 p？

我知道这是一个动态规划问题，而且我觉得它应该像背包问题一样被解决。但我完全糊涂了，因为这里邮票的最小总大小应该加起来是 p。我想出了以下循环，我知道这不会是真的，因为它不检查总最小大小是否等于 p:

M(p)=min{M(p-d(i))}+s(i),M(p-d(i))} for i from 1 to n

我也不知道如何制表(以便编写动态程序的迭代版本)。

我的猜测是，我必须有一个维度为 p 和 d(i) 的二维数组，并且每个单元格都用 s(i) 填充。

Answer 1

你猜对了。这是二维DP问题。但在我们声明我们需要得出一个递归公式之前，我们将看到有多少字段在该公式中发生变化。

在您的问题陈述中有两件事:1) 邮票大小需要最小化。 2)所有邮票加起来应该是总和 P。如果你是初学者，不要认为 DP 直接从底向上。首先考虑自上而下的递归方法，经过一些练习应该会变得容易思考。在这种情况下，假设您知道 N 个邮票的解决方案。让我们将这个解决方案表示为 M(d(N), P)，它表示 M 是 N 个邮票中总和为 P 的解决方案。为了获得递归关系，想想如果最后一个邮票 (Nth) 不是结果的一部分会怎样问题将简化为从 N-1 个邮票中找出 P 个。如果存在最后一个元素(第 N 个标记)，问题是从 N-1 个标记中找到 P - d(N) 个总和。其循环关系如下所示:

M(N, P) = Min{ M(N-1, P), M(N-1, P - d(N))}

或更一般意义上的:

M(i, P) = Min{ M(i - 1, P), M(i - 1, P - d(i))}

如您所见，此递归公式中有两个字段在变化，因此您必须考虑二维 DP。

取两个轴，在 X 轴上取 0 到 P 所有总和，在 y 轴上取数字 0 到 N(元素数)。迭代函数应如下所示。

set all M(0, j) and M(i, 0) = 0 for all i [0, N] and j [0, P]

for: i = 0 to N
   for: j = 0 to P
      for: int k = 0 to j
        if: j - P(k) >= 0 and M(i, j) < M(i-1, j-P(k))
           M(i, j) = M(i-1, j-P(k));


return M(N, P);

注意:我没有提到图章的大小，因为很明显 M 中的字段将是那些需要最小化的选定图章的大小。