algorithm - 如果 f(n) 是 Omega(g(n)) 那么 2^(f(n)) 就是 Omega(2^g(n))。这是对还是错

Question

对于这个问题，我认为它是真的，因为我认为这个问题基本上是在问 f(n) 大于或等于 g(n) 然后是 2^(f(n)) 大于或等于 2^(g(n))

因此，如果我们采用 f(n) = 2n 和 g(n) = n 的实例，则 f(n) 是> g(n)。则 2^2n 大于 2^n。

但是我的 friend 说那是不正确的，有人可以给我一些见解吗？我想我可能对这个问题有一些误解。

Answer 1

您有兴趣证明或反驳此声明:

If f(n) = Ω(g(n)), then 2^f(n) = Ω(2^g(n)).

当您看到这样的语句时，通常有助于弄清楚这里的 f 和 g 是什么。具体来说，上面的声明实际上意味着以下内容:

For any functions f and g, if f(n) = Ω(g(n)), then 2^f(n) = Ω(2^g(n))

所以从这个意义上说，如果你想证明这个陈述是真的，你需要通过证明这个陈述是真的来接近它对于 f 和 g 的任何可能选择，而不是只需选择一个 f 和一个函数 g 并确认该关系适用于这些特定函数。从这个意义上说，你的 friend 是对的。

(另一方面，如果你想反驳这个说法，你只需要给出函数 f 和 g 的例子，其中 f(n) = Ω(g(n)) 但 2 ^f(n) ≠ Ω(2^g(n)).)

作为这个问题的提示:O、Ω 和 Θ 等渐近符号都完全忽略了常数因子。如果 f(n) = Ω(g(n))，那么您可以按您喜欢的任何常数因子缩放 f 或 g，并且关系仍然成立。另一方面，指数中的常数因子会从根本上改变该指数的性质。例如，函数 eⁿ 的增长速度比函数 e²ⁿ 慢，因为 e²ⁿ = (e²)ⁿ，这是一个底数较高的指数函数。换句话说，您不能在不完全改变指数增长率的情况下按常数因子缩放指数。

基于这种脱节——Ω 表示法无法区分因常数因子不同的函数，但指数函数对常数因子非常敏感——你认为这个说法是对还是错？根据以上建议，您将如何证明这样的陈述？