algorithm - 格雷码算法(32 位或更少)

Question

我最近遇到了格雷码，我一直在努力思考用于将格雷码转换回二进制(32 位或更少位)的高效算法。

num = num ^ (num >> 16);
num = num ^ (num >> 8);
num = num ^ (num >> 4);
num = num ^ (num >> 2);
num = num ^ (num >> 1);

这就是我所说的代码。现在这是我的问题:

• 这和普通代码(右移 1 和异或直到 mask == 0)有什么区别？
• 为什么专门使用 16、8、4、2、1 而不是任何其他小于 32 位的数字？

• 如果我们反过来做，有什么区别:

  num = num ^ (num >> 1);
  num = num ^ (num >> 2);
  num = num ^ (num >> 4);
  num = num ^ (num >> 8);
  num = num ^ (num >> 16);
  

  我已经试过了，它似乎产生了相同的结果。

Answer 1

例如，以位为单位(假设为 8)

h g^h f^g e^f d^e c^d b^c a^b

那么如果我们应用 x ^= x >> 1 会发生什么？ ？我们明白了

h g f^h e^g d^f c^e b^d a^c

这看起来就像我们开始的样子，就好像它是由 x ^ (x >> 2) 制作的一样而不是 x ^ (x >> 1) ，所以同样的想法只需要移动 2 就可以反转:

h g f e d^h c^g b^f a^e

看起来不错，现在很明显为什么 x ^= x >> 4将完全恢复正常。对于更多位，相同的模式只会持续一段时间。

另一种看待这个问题的方法是暂时反转位，将“灰色”变成x ⊗ 3。与 ⊗在 GF(2^k) 中乘法，在 GF(2^k) 中乘以奇数是可逆的，3 的乘法逆是“所有位集”，你可以找到如下:

• 开始于 y=3和一个临时逆 i=1
• 杀死y中的第一位(不是 lsb)通过将它与 3 进行异或运算，将相应的位设置为相反
• 循环直到y=1

所以第一步是 y=3, i=1 , y=5, i=3 , y=9, i=7等等，直到您在 i 中设置所有位，让我们称之为最终i inv .

然后我们有(x ⊗ 3) ⊗ inv = x ⊗ (3 ⊗ inv) = x ⊗ 1 = x

乘以“所有位设置”意味着每一位最终都是它自己和所有低位的异或，你可以这样做

x ^= x << 1
x ^= x << 2
x ^= x << 4
...

首先，所有位都与其相邻的位进行异或，然后是接下来的两个位(它们已经被异或在一起，因此这只需要一个步骤)，然后是接下来的四位等。

再次反转这些位以获得您开始的内容。

但现在是有趣的东西。

为什么顺序不重要？

(是的，事实上你不仅可以颠倒步骤，还可以任意洗牌)

好的，反转位并返回到 GF(2^k)。另一种写每一行的方法是

x = x ⊗ 3
x = x ⊗ 5
x = x ⊗ 17
...

当然最终结果是((x ⊗ 3) ⊗ 5) ⊗ 17 = x ⊗ (3 ⊗ 5 ⊗ 17) = x ⊗ 127

GF(2^k) 中的乘法非常好并且可以交换，所以它可以以任何顺序完成。

其他数字呢

当然可以，只要他们的产品是 inv .但是所有其他选择都会导致烦人的/许多被乘数出现。例如，也许我们希望 9 是一个因子，那么剩下的就是 199，它可以分解为 9 ⊗ 63，等等，但是这会持续一段时间，直到你可能有 3、5、9、9、17， 65 这太糟糕了(请注意 9 ⊗ 9 ⊗ 65 = 1 反正如果有 8 位那么是的，只需将其踢出并返回到原始的 3、5、17)。不过可能。