algorithm - 使用傅立叶分析将函数拟合到数据

Question

我有 24 个 Y 值，相应的 24 个 Y 值是通过实验测量的，

虽然 t 有值:t=[1,2,3.......24]

我想用傅里叶分析找到 Y 和 t 之间的关系作为一个方程，

我尝试过并做过的是:

我编写了以下 MATLAB 代码:

Y=[10.6534
    9.6646
    8.7137
    8.2863
    8.2863
    8.7137
    9.0000
    9.5726
   11.0000
   12.7137
   13.4274
   13.2863
   13.0000
   12.7137
   12.5726
   13.5726
   15.7137
   17.4274
   18.0000
   18.0000
   17.4274
   15.7137
   14.0297
   12.4345];

ts=1; % step

t=1:ts:24; % the period is 24 

f=[-length(t)/2:length(t)/2-1]/(length(t)*ts); % computing frequency interval

M=abs(fftshift(fft(Y)));

figure;plot(f,M,'LineWidth',1.5);grid % plot of harmonic components

figure;

plot(t,Y,'LineWidth',1.5);grid % plot of original data Y

figure;bar(f,M);grid % plot of harmonic components as bar shape

条形图的结果是:

现在，我想找到代表数据的这些谐波分量的方程式。然后我想用拟合函数找到的数据绘制原始数据Y，两条曲线应该很接近。

我应该使用 cos 还是 sin 还是 -sin 还是 -cos？

换句话说，将这些谐波表示为函数的规则是什么:Y = f (t)？

Answer 1

使用您的数据 和使用离散正弦变换的 Mathematica 完成的示例。希望你可以推断到 Matlab:

n = 24;
xg = N[Range[n]]/n
fg = l                             (*your list *)

fp = ListPlot[Transpose[{xg, fg}], PlotRange -> All] (*points plot*)

coef = FourierDST[fg, 1]/Sqrt[n/2]; (*Fourier transform*)

Show[fp, Plot[Sum[coef[[r]]*Sin[Pi r x], {r, n - 1}], {x, -1, 1}, 
  PlotRange -> All]]

系数是:

{16.6411,    -4.00062,    5.31557, -1.38863,    2.89762,    0.898562,
  1.54402,   -0.116046,   1.54847,  0.136079,   1.16729,    0.156489,   
  0.787476,  -0.0879736,  0.747845, 0.00903859, 0.515012,   0.021791,   
  0.35001,    0.0159676,  0.215619, 0.0122281,  0.0943376, -0.00150218}

更详细的 View :

编辑

但是，由于偶函数似乎更好，我还进行了类型 3 的离散傅立叶余弦变换，效果更好:

在这种情况下，系数是:

{14.7384,  -8.93197,   4.56404,  -2.85262,   2.42847,   -0.249488, 
  0.565181,-0.848594,  0.958699, -0.468337,  0.660136,  -0.317903, 
  0.390689,-0.457621,  0.427875, -0.260669,  0.278931,  -0.166846, 
  0.18547, -0.102438,  0.111731, -0.0425396, 0.0484102, -0.00559378}

系数和函数的绘图是通过以下方式获得的:

coef  = FourierDCT[fg, 3]/Sqrt[n];(*Fourier transform*)
f[x_]:= Sum[coef[[r]]*Cos[Pi (r - 1/2) x], {r, n - 1}]

你需要做一些实验......