algorithm - 按递归树排序

Question

我试过确定递归关系给出的运行时间，但我的结果不正确。

重复发生

T(n) = c + T(n-1) if n >= 1
     = d          if n = 0

我的尝试

我构建了这个递归树:

                   n
                   |
                  n-1
                   |
                  n-2
                   |
                  n-3
                   |
                  n-4
                   |
                  n-5
                   |
                   |
                   |
                   |
                   |
                   |
                Till we get 1

现在在 i 级别，子问题的大小应该是 n-i

但最后我们想要一个大小为 1 的问题。因此，在最后一层，n-i=1 给出，i=n-1。

因此树的深度变为n-1，高度变为n-1+1= n。

现在解决此递归所需的时间 = 树的高度 * 每一级所需的时间为:

n+(n-1)+(n-2)+(n-3)+(n-4)+(n-5)+ ...
==> (n+n+n+n+n+ ... )-(1+2+3+4+5+ ... )
==> n - (n(n+1)/2)

现在花费的时间 = n* ((n-n2)/2) 应该给出 n² 的顺序，但这不是正确的答案。

Answer 1

Now at level i, the size of the sub problem should be, n-i

是的，没错。但是您假设运行时间等于所有子问题大小的总和。试想一下，前两层的总和已经给出 n + (n - 1) = 2n - 1，为什么问题的规模会增加？ _{免责声明:有些曲折，并不完全准确。}

公式的实际含义

T(n) = c + T(n-1)

公式表示，解决一些 n 所花费的时间与解决问题规模少一所花费的时间相同，加上 一个额外的常量 c: c + T(n - 1)

上述陈述的另一种表达方式是:给定问题需要一些时间 t 来解决某个问题大小，它将花费 t + c 来解决问题大小, 即大一。

我们知道，在 n = 0 的问题大小下，这需要时间 d。根据第二个陈述，对于一个更大的大小，n = 1，它将花费 d + c。再次应用我们的规则，因此 n = 2 需要 d + c + c。我们得出结论，对于任何 n，它必须花费 d + n*c 时间。

_{这不是证明。要实际证明这一点，您必须使用 amit 所示的归纳法。}

一个正确的递归树

你的递归树只列出了问题的大小。恐怕这没什么用。相反，您需要列出所述问题大小的运行时间。

树中的每个节点对应特定的问题大小。您写入该节点的是问题大小所需的额外时间。 IE。您将一个节点的所有后代加节点本身相加，以获得特定问题大小的运行时间。

这种树的图形表示看起来像这样

Tree        Corresponding problem size
c                                    n
|
c                                    n - 1
|
c                                    n - 2
|
c                                    n - 3
.
.
.
|
c                                    2
|
c                                    1
|
d                                    0

形式化:如前所述，节点的标签是解决该问题大小所需的附加运行时间，加上它的所有后代。最上面的节点表示 n 的问题大小，带有标签 c 因为它是 T(n-1) 的补充，它使用 | 连接。

在公式中，您只需要写出这个关系:T(n) = c + T(n-1)。鉴于该树，您可以看到它如何应用于每个 n>=1。你可以这样写:

T(n)     = c + T(n - 1) # This means, `c` plus the previous level
T(n - 1) = c + T(n - 2) # i.e. add the runtime of this one to the one above^
T(n - 2) = c + T(n - 3)
...
T(n - (n - 2)) = c + T(1)
T(n - (n - 1)) = c + T(0)
T(0) = d

您现在可以从下往上展开条款:

T(n - (n - 1)) = c + T(0)
T(0) = d

T(n - (n - 2)) = c + T(1)
T(n - (n - 1)) = c + d
T(0) = d

T(n - (n - 3)) = c + T(2)
T(n - (n - 2)) = c + (c + d)
T(n - (n - 1)) = c + d
T(0) = d

T(n - (n - 4)) = c + T(3)
T(n - (n - 3)) = c + (2*c + d)
T(n - (n - 2)) = c + (c + d)

...

T(n) = c + T(n - 1)
T(n - 1) = c + ((n-2)c + d)

T(n) = c + (n-1)c + d = n*c + d
T(n - 1) = (n-1)c + d

求和 1 到 n

n+(n-1)+(n-2)+(n-3)+(n-4)+(n-5)+ ...
==> (n+n+n+n+n+ ... )-(1+2+3+4+5+ ... )
==> n - (n(n+1)/2)

从第一行到第二行，您已将问题从求和 1 到 n 减少到求和 1 到 n-1。这不是很有帮助，因为您遇到了同样的问题。

我不确定你在第三行做了什么，但你从第一行到第二行的转换基本上是正确的。

这将是正确的公式: