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我试过确定递归关系给出的运行时间,但我的结果不正确。
重复发生
T(n) = c + T(n-1) if n >= 1
= d if n = 0
我的尝试
我构建了这个递归树:
n
|
n-1
|
n-2
|
n-3
|
n-4
|
n-5
|
|
|
|
|
|
Till we get 1
现在在 i
级别,子问题的大小应该是 n-i
但最后我们想要一个大小为 1 的问题。因此,在最后一层,n-i=1
给出,i=n-1
。
因此树的深度变为n-1
,高度变为n-1+1= n
。
现在解决此递归所需的时间 = 树的高度 * 每一级所需的时间为:
n+(n-1)+(n-2)+(n-3)+(n-4)+(n-5)+ ...
==> (n+n+n+n+n+ ... )-(1+2+3+4+5+ ... )
==> n - (n(n+1)/2)
现在花费的时间 = n* ((n-n2)/2) 应该给出 n2 的顺序,但这不是正确的答案。
最佳答案
Now at level i, the size of the sub problem should be, n-i
是的,没错。但是您假设运行时间等于所有子问题大小的总和。试想一下,前两层的总和已经给出 n + (n - 1) = 2n - 1
,为什么问题的规模会增加? 免责声明:有些曲折,并不完全准确。
T(n) = c + T(n-1)
公式表示,解决一些 n
所花费的时间与解决问题规模少一所花费的时间相同,加上 一个额外的常量 c
: c + T(n - 1)
上述陈述的另一种表达方式是:给定问题需要一些时间 t
来解决某个问题大小,它将花费 t + c
来解决问题大小, 即大一。
我们知道,在 n = 0
的问题大小下,这需要时间 d
。根据第二个陈述,对于一个更大的大小,n = 1
,它将花费 d + c
。再次应用我们的规则,因此 n = 2
需要 d + c + c
。我们得出结论,对于任何 n
,它必须花费 d + n*c
时间。
这不是证明。要实际证明这一点,您必须使用 amit 所示的归纳法。
你的递归树只列出了问题的大小。恐怕这没什么用。相反,您需要列出所述问题大小的运行时间。
树中的每个节点对应特定的问题大小。您写入该节点的是问题大小所需的额外时间。 IE。您将一个节点的所有后代加节点本身相加,以获得特定问题大小的运行时间。
这种树的图形表示看起来像这样
Tree Corresponding problem size
c n
|
c n - 1
|
c n - 2
|
c n - 3
.
.
.
|
c 2
|
c 1
|
d 0
形式化:如前所述,节点的标签是解决该问题大小所需的附加运行时间,加上它的所有后代。最上面的节点表示 n
的问题大小,带有标签 c
因为它是 T(n-1)
的补充,它使用 |
连接。
在公式中,您只需要写出这个关系:T(n) = c + T(n-1)
。鉴于该树,您可以看到它如何应用于每个 n>=1
。你可以这样写:
T(n) = c + T(n - 1) # This means, `c` plus the previous level
T(n - 1) = c + T(n - 2) # i.e. add the runtime of this one to the one above^
T(n - 2) = c + T(n - 3)
...
T(n - (n - 2)) = c + T(1)
T(n - (n - 1)) = c + T(0)
T(0) = d
您现在可以从下往上展开条款:
T(n - (n - 1)) = c + T(0)
T(0) = d
T(n - (n - 2)) = c + T(1)
T(n - (n - 1)) = c + d
T(0) = d
T(n - (n - 3)) = c + T(2)
T(n - (n - 2)) = c + (c + d)
T(n - (n - 1)) = c + d
T(0) = d
T(n - (n - 4)) = c + T(3)
T(n - (n - 3)) = c + (2*c + d)
T(n - (n - 2)) = c + (c + d)
...
T(n) = c + T(n - 1)
T(n - 1) = c + ((n-2)c + d)
T(n) = c + (n-1)c + d = n*c + d
T(n - 1) = (n-1)c + d
1 到 n
n+(n-1)+(n-2)+(n-3)+(n-4)+(n-5)+ ...
==> (n+n+n+n+n+ ... )-(1+2+3+4+5+ ... )
==> n - (n(n+1)/2)
从第一行到第二行,您已将问题从求和 1 到 n
减少到求和 1 到 n-1
。这不是很有帮助,因为您遇到了同样的问题。
我不确定你在第三行做了什么,但你从第一行到第二行的转换基本上是正确的。
这将是正确的公式:
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