algorithm - 动态规划 : Find the rectangle in a grid that has the largest sum

Question

我遇到了以下动态规划问题。

您有一个整数网格(因此包括负数)。找出数字总和最大的矩形。

知道如何对整个矩阵执行此操作吗？

我为单个数组解决了这个问题，所以我几乎遵循了最长递增子序列所做的，但仅限于连续的数字。

def array_largest_block(sequence)
  len = sequence.size
  parents = [nil]*len
  my_largest = sequence
  largest = sequence.max

  for index in (1...len)
    if my_largest[index] < my_largest[index] + my_largest[index - 1]
      my_largest[index] = my_largest[index] + my_largest[index - 1]
      parents[index] = index - 1
      largest = [largest, my_largest[index]].max
    end
  end

  end_index_of_largest_block = my_largest.find_index(largest)
  i = end_index_of_largest_block
  res = []
  res << sequence[i]
  while !parents[i].nil?
    i = parents[i]
    res << sequence[i]
  end
  return {l_sum: largest, start: i, end: end_index_of_largest_block}
end

所以我的想法是，

1. 求出矩阵中每个方格的和(仅 1x1 个方格)
2. 保存最大值以获得可能的答案
3. 从可能的最小矩形开始运行相同的东西并计算所有矩形，直到找到最大值。这是数据库部分。

有什么想法吗？或者，如果你们不知道确切的解决方案，我应该看哪种 DP 类型的算法？

Answer 1

这可以在 O(N^3) 中完成，其中 N 是矩阵的大小。

您基本上选择矩形的左右列，然后以线性时间扫描各行(使用预先计算的总和)。

int totalBestSum = -10000000;
for (int leftCol = 1; leftCol <= N; leftCol++)
   for (int rightCol = leftCol; rightCol <= N; rightCol++)
   {
      int curSum = 0, curBestSum = -10000000;
      for (int row = 1; row <= N; row++) {
         int rowSum = sumBetween(leftCol, rightCol, row);
         curSum += rowSum;
         if (curSum > curBestSum) curBestSum = curSum;
         if (curSum < 0) curSum = 0;                   
      }

      if (curBestSum > totalBestSum) totalBestSum = curBestSum;
   } 

sumBetween 是一个返回两列之间特定行上数字总和的函数。它可以在恒定时间内使用预先计算的总和来实现。

int sumBetween(int leftCol, int rightCol, int row)
{
    return sum[row][rightCol] - sum[row][leftCol - 1];
}

计算和数组:

for (int row = 1; row <= N; row++)
   for (int col = 1; col <= N; col++)
      sum[row][col] = sum[row][col - 1] + matrix[row][col];