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我有一些未知函数 f(x),我正在使用 matlab 计算函数图上的 2000 个点。我需要一个包含 20 到 30 段的分段线性函数 g,它最适合原始函数,我怎样才能以可接受的方式做到这一点?可能的解空间是无法遍历的,也想不出好的启发式函数来有效地缩小它。
这是派生函数的代码:
x = sym('x', 'real');
inventory = sym('inventory', 'real');
demand = sym('demand', 'real');
f1 = 1/(sqrt(2*pi))*(-x)*exp(-(x - (demand - inventory)).^2./2);
f2 = 20/(sqrt(2*pi))*(x)*exp(-(x - (demand - inventory)).^2./2);
expectation_expression = int(f1, x, -inf, 0) + int(f2, x, 0, inf);
最佳答案
根据您对好的近似的想法,可能有一个动态规划解决方案。
例如,给定 2000 个点和相应的值,我们希望找到具有 20 段的分段线性逼近,使每个点的真实值与线性逼近的结果之间的偏差平方和最小。
从左到右沿着 2000 个点工作,并在每个点计算 i=1 到 20 从最左边到该点的总误差,以获得使用 i 段的最佳分段线性逼近。
您可以使用为该位置左侧的点(点 1..n)计算的值来计算位置 n+1 处的值。对于 i 的每个值,考虑其左侧的所有点 - 例如点 j < n+1。计算从点 j 到点 n+1 的直线段产生的误差贡献。再加上您使用 i-1 段在 j 点(或可能是 j-1 点,具体取决于您定义分段线性近似值)计算出的最佳可能误差的值。如果您现在对所有可能的 j 取最小值,则您已经使用前 n+1 个点的 i 段计算了最佳分段线性近似的误差。
当您使用 20 个分段计算出前 2000 个点的最佳值时,您就解决了问题,您可以沿着此表返回以找出分段的位置 - 或者,如果这样做不方便,您可以在进行过程中保存额外的信息,使这更容易。
我相信类似的方法将最小化绝对偏差的总和,或最小化任何点的最大偏差,前提是您能够解决单条线的相应问题。我隐含地假设你可以拟合一条直线来最小化误差平方和,这当然是标准的平方和线拟合。最小化与直线的绝对偏差是凸优化的一个练习,我会通过重复加权最小二乘法来尝试。最小化最大绝对偏差是线性规划。
关于algorithm - 为未知函数建立线性近似,我们在Stack Overflow上找到一个类似的问题: https://stackoverflow.com/questions/35952943/
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我是一名优秀的程序员,十分优秀!