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我们得到一个未排序的整数数组 A
(允许重复),大小 N
可能很大。我们可以计算索引为 i < j
的对的数量,其中 A[i] < A[j]
,我们称之为 X
。
我们可以更改数组中的最大一个元素,代价等于绝对值的差值(例如,如果我们用新数字 k
替换索引 K
上的元素,则代价 Y
为 | A[k] - K |
)。我们只能用数组中找到的其他元素替换此元素。
我们想找到 X + Y
的最小可能值。
一些例子:
可以使用简单的 O(n²)
解决方案找到对的数量,在 Python 中:
def calc_x(arr):
n = len(arr)
cnt = 0
for i in range(n):
for j in range(i+1, n):
if arr[j] > arr[i]:
cnt += 1
return cnt
暴力解决方案很容易编写,例如:
def f(arr):
best_val = calc_x(arr)
used = set(arr)
for i, v in enumerate(arr):
for replacement in used:
if replacement == v:
continue
arr2 = arr[0:i] + replacement + arr[i:]
y = abs(replacement - v)
x = calc_x(arr2)
best_val = min(best_val, x + y)
return best_val
我们可以计算每个元素在 O(n*log(n))
中大于其自身的项目数,例如使用 AVL 树或合并排序的一些变体。但是,我们仍然需要寻找改变哪些元素以及它可以实现哪些改进。
这是作为一个面试问题给出的,我想要一些关于如何有效解决这个问题(数据结构或算法)的提示或见解。
最佳答案
在计算反转时,一定要达到 O(n log n) 的复杂度。
我们可以看到,当您更改索引 k 处的值时,您可以:
1)增加它,然后可能减少元素大于k的反演次数,但增加元素小于k的反演次数
2) 减少它(相反的事情发生)
我们尽量不要每次更改值时都计算 x。您需要了解什么?
案例一):
你必须知道左边有多少元素小于你的新值v,右边有多少元素大于你的值。您可以很容易地在 O (n) 中检查它。那么你现在的x是多少?您可以使用以下公式对其进行计数:
prev_val - your previous value
prev_x - x that you've counted at the beginning of your program
prev_l - number of elements on the left smaller than prev_val
prev_r - number of elements on the right bigger than prev_val
v - new value
l - number of elements on the right smaller than v
r - number of elements on the right bigger than v
new_x = prev_x + r + l - prev_l - prev_r
在第二种情况下,你几乎做相反的事情。
现在你得到的是 O( n^3 ) 而不是 O (n^3 log n),这可能仍然很糟糕。不幸的是,这就是我现在想到的。如果我想出更好的东西,我一定会告诉你。
编辑:内存限制如何?有没有?如果没有,您可以只为数组中的每个元素制作两个集合,其中包含当前元素之前和之后的元素。然后你可以在 O (log n) 中找到更小/更大的数量,使你的时间复杂度为 O (n^2 log n)。
编辑 2:我们还可以尝试检查,对于每个可能的值 v,哪个元素最适合更改为值 v。您可以制作两个集合并在检查每个元素时从中添加/删除元素,使时间复杂度为 O(n^2 log n) 而无需使用太多空间。所以算法将是:
1) 确定你可以改变任何元素的每一个值v,计算x
2) 对于每个可能的值 v:
编辑 3:您可以使用前缀总和作为一个值,而不是制作两组。这已经是 O (n^2),但我认为我们可以做得更好。
关于arrays - 最大化数组中的反转计数,我们在Stack Overflow上找到一个类似的问题: https://stackoverflow.com/questions/51246932/
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