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假设我们有一个边上标有数字的 DAG。将路径的值定义为标签的乘积。对于每个(源,接收器)-pair,我想找到从源到接收器的所有路径的值的总和。您可以使用动态规划在多项式时间内完成此操作,但在如何分解问题方面仍然可以做出一些选择。就我而言,我有一个必须使用不同标签反复评估的 DAG。我的问题是:对于给定的 DAG,我们如何预先计算出一个好的策略来重复计算不同标签的这些值?如果有一种算法可以找到最佳方法,例如最小化乘法次数的方法,那就太好了。但也许这要求太高了,我会很高兴有一个能很好分解的算法。
最佳答案
设 S 是源集,V 是 DAG 的顶点集,E 是边集,n = |V|,m = |S|,W 是存储边权重的 n x n 矩阵, C 是一个 m x n 矩阵,使得 C[i,j] 在算法结束时保持从 i 到 j 的所有路径的值的总和。为了简化算法的解释和正确性证明,我假设从1到n的图的顶点是拓扑排序的,其中节点1到m是源。这会将 O(|E|+|V|) 添加到我们算法的运行时间中:
算法伪代码:
1: set C[i,j] to 1 if i=j and i is a source node, and to 0 otherwise.
2: sort the DAG topologically
3: for k=1 to n (vertex traversal in the topological order)
4: foreach predecessor k' of vertex k
5: foreach i in S
6: C[i,k] += C[i,k']*W[k',k]
两个外循环总共有O(|E|+|V|)次迭代。因此,算法的运行时间为 O((|V|+|E|).m) 假设加法和乘法需要常数时间。这包括拓扑排序的时间。
正确性证明:我们通过归纳证明,在最外层循环的第k次迭代完成后,C[i,k]是从i到所有路径的值之和k 代表 S 中的每个 i。
基本情况:对于 k = 1 很明显(因为第一个元素没有任何前置元素)
归纳:假设对于所有 j < k 都正确计算了 C[i,j]。从任何源 i 到 k 的所有路径都必须经过 k 的前导 k'。由于我们在拓扑顺序中迭代,因此 k' 必须小于 k,并且根据我们的归纳假设 C[i,k'] 是从 i 到 k' 的路径值的总和。此外,从 i 到 k 的路径值的总和,通过特定前导 k' 等于从 i 到 k' 的路径值的总和,即 C[i,k'],乘以 W[k ',k]。因此,从 i 到 k 的所有路径的值之和是 C[i,k']*W[k',k] 对 k 的所有前驱 k' 的总和。
相同的图结构,不同的 W 矩阵:如果我们需要为具有相同结构但不同 W 的不同图计算矩阵 C,我们可以执行以下操作:让 C' 是一个矩阵,其元素是 3 元组的列表。将上面的第 6 行替换为
C'[i,k].append((i,k',k))
然后通过按拓扑顺序遍历顶点并遍历 C'[i,k] 中的元组,您可以在不查看图结构的情况下计算 C[i,k]。那是因为元组隐含地表示图结构。就复杂性而言,这并没有好坏之分。
关于algorithm - DAG 路径乘积之和,我们在Stack Overflow上找到一个类似的问题: https://stackoverflow.com/questions/10122597/
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我想将下面的字符串拆分为字母和数字,然后我需要计算数字的总和。我的示例问题是 a[20]={"abcd123dc2"}; 预期输出: abcddc 8 我的代码: int main() { c
为什么 sizeof 运算符返回的结构大小大于该结构成员的总大小? 最佳答案 这是因为添加了填充以满足对齐约束。 Data structure alignment影响程序的性能和正确性: 未对齐的访问
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我是一名优秀的程序员,十分优秀!