algorithm - 边权有限的图上的 Dijkstra 算法

Question

假设我们想在边权为整数的图上运行 Dijkstra 算法范围 {1,2,...,W}，其中 W 是一个相对较小的数字。如何在O((|V|+|E|)logW)中找到从顶点s到t的最短路径？

我在 S. Dasgupta、C. Papadimitriou 和 U. Vazirani 的《算法》一书中遇到了这个问题。我可以证明，如果我们像以前一样实现 Dijkstra 算法，在每次迭代中，优先级队列中节点的距离范围将在 W 范围内。但是，由于优先级队列不具有将相同权重的元素放入同一个桶中的特性，因此这种观察并不能直接导致问题的解决。

谁能给我一些提示，告诉我如何进一步使有界范围 W 为我工作？

谢谢!

Answer 1

您的优先队列中可以有多少个不同的号码？

解决方案请注意，在您提取大小为 X 的节点后(现在您可以放松......)它可以达到的最大尺寸是 X+W。所有其他数字都大于 X(因为你从队列中拿走了最小值)所以你在队列中只有 O(W) 个不同的数字，所以你可以将它用作二进制堆，然后每一步都将花费 O(logW) 并且所有在一起将是:(V+E)logW.