algorithm - 转换数组中的第 K 个元素

Question

我在最近的采访中遇到了这个问题:

给定一个长度为 N 的数组 A，我们应该回答 Q 查询。查询形式如下:

给定 x 和 k，我们需要创建另一个长度相同的数组 B 使得 B[i] = A [i] ^ x 其中 ^ 是 XOR 运算符。对数组 B 进行降序排序并返回 B[k]。

输入格式:第一行包含整数 N第二行包含 N 个整数，表示数组 A第三行包含 Q 即查询数接下来 Q 行包含以空格分隔的整数 x 和 k

输出格式:在 Q 查询的新行上打印各自的 B[k] 值。

例如输入:

5
1 2 3 4 5
2
2 3
0 1

输出将是:

3
5

对于第一个查询，A = [1, 2, 3, 4, 5]对于查询 x = 2 和 k = 3，B = [1^2, 2^2, 3^2, 4^2, 5^2] = [3, 0, 1, 6, 7]。按降序排序 B = [7, 6, 3, 1, 0]。所以，B[3] = 3。

对于第二个查询，A 和 B 与 x = 0 相同。所以，B[1] = 5

我不知道如何解决这些问题。提前致谢。

Answer 1

这可以在 O(N + Q) 中解决。为简单起见，我假设您只处理正值或无符号值，但您也可以针对负数调整此算法。

首先你建立一个二叉树。左边缘代表 0 位，右边缘代表 1 位。在每个节点中，您存储此桶中有多少数字。这可以在 O(N) 中完成，因为位数是常数。

因为这有点难以解释，我将展示 3 位数字 [0, 1, 4, 5, 7] 即 [000, 001, 100, 101, 111]

          *
     /         \
    2           3            2 numbers have first bit 0 and 3 numbers first bit 1
   / \       /     \ 
  2   0     2       1        of the 2 numbers with first bit 0, have 2 numbers 2nd bit 0, ...
 / \       / \     / \
1   1     1   1   0   1      of the 2 numbers with 1st and 2nd bit 0, has 1 number 3rd bit 0, ...

要回答单个查询，您可以使用 x 的位沿着树向下移动。在每个节点你有 4 种可能性，查看 x 的位 b 并构建答案 a，它最初是 0:

1. b = 0 and k < 当前节点左 child 存储的值(0位分支):当前节点成为左 child ，a = 2 * a(左移1)

2. b = 0 and k >= 左 child 存储的值:当前节点成为右 child ，k = k - 左 child 的值，a = 2 * a + 1

3. b = 1 and k < 右 child 中存储的值(1 位分支，因为异或运算，所有内容都被翻转):当前节点成为右 child ，a = 2 * a

4. b = 1 and k >= 右 child 存储的值:当前节点成为左 child ，k = k - 右 child 的值，a = 2 * a + 1

这是 O(1)，同样是因为位数是常数。因此整体复杂度为 O(N + Q)。

示例:[0, 1, 4, 5, 7] 即 [000, 001, 100, 101, 111], k = 3, x = 3 即 011

1. 第一位是 0 并且 k >= 2，因此我们向右走，k = k - 2 = 3 - 2 = 1 和 a = 2 * a + 1 = 2 * 0 + 1 = 1。

2. 第二个位是 1 并且 k >= 1，因此我们向左走(反转因为位是 1)，k = k - 1 = 0, a = 2 * a + 1 = 3

3. 第三位是1，k < 1，所以解是a = 2 * a + 0 = 6

控制:[000, 001, 100, 101, 111] xor 011 = [011, 010, 111, 110, 100] 即 [3, 2, 7, 6, 4] 并按顺序 [2, 3, 4, 6, 7]，所以索引 3 处的数字确实是 6 和解决方案(这里总是谈论基于 0 的索引)。