algorithm - 嵌套for循环运行时间的问题

Question

几天来我一直在思考这个问题，一直在计算第二个嵌套 for 循环将运行的次数。我相信我有正确的公式来确定其他两个 for 循环的运行时间，但是第三个让我挂断了电话。我有第一个循环运行 n-1 次。确定循环 #2 运行次数的公式是； 1 到 n-1 的总和。如果有人能帮助我了解如何找到循环 #3 运行的次数，我将不胜感激。

    for ( int i=1; i<=n-1; i++ ) {
        for ( int j=i+1; j<=n; j++ ) {
            for ( int k=1; k<=j; k++ ) {
            }
        }
    }

Answer 1

第三个循环运行C次:

C = Sum( Sum ( Sum ( 1 , k = 1 .. j ) , j = i+1 .. n ) , i = 1 .. n-1 )
  = Sum( Sum (           j            , j = i+1 .. n ) , i = 1 .. n-1 )
  = 2 + 3 + 4 + ... + n
      + 3 + 4 + ... + n
    ...
                    + n
  = 2*1 + 3*2 + 4*3 + 5*4 + ... + n*(n-1)
  = (1*1 + 1) + (2*2 + 2) + (3*3 + 3) + ... + ((n-1)*(n-1) + n-1)
  = (1^2 + 2^2 + ... (n-1)^2) + (1 + 2 + 3 + ... + (n-1))
  = (n-1)*n*(2*n-1)/6 + (n-1)*n/2 
  = (n-1)*n*(2*n+2)/6
  = O(n^3)

这里我使用了公式:

1^2 + 2^2 + ... + m^2 = m*(m+1)*(2*m+1)/6

和

1 + 2 + ... + m = m*(m+1)/2