algorithm - 计算正方形内的列宽以控制圆周上的项目距离

Question

我正在努力阐明这个问题，所以我会尽我最大的努力，随着我的理解的提高来清理它。

假设我们有一个正方形，该正方形通过线分成多个垂直段。在我们的正方形内，我们还有一个完美契合的圆圈。

在每个垂直段内，我放置了一个直接位于圆周上的项目。

是否有一种算法可以定义每个段的宽度，以便每个段内的项目在位于圆周上时彼此之间的距离也相等？

这是我惊人的场景草图:

Answer 1

我希望你有这样的想法。

这是使用下面描述的数学生成上面图像的 Python。

#!/usr/bin/env python3
import math
import sys


def layout(n):
    assert isinstance(n, int)
    assert n >= 1
    divisions = [0.0] * (n + 1)
    divisions[0] = -1.0
    divisions[n] = 1.0
    for i in range(1, (n + 1) // 2):
        box = -math.cos(i / (n + 1) * math.pi)
        divisions[i] = 2.0 * box - divisions[i - 1]
        divisions[n - i] = -divisions[i]
    return divisions


def quality(divisions):
    n = len(divisions) - 1
    boxes = [0.5 * (divisions[i] + divisions[i + 1]) for i in range(n)]
    angles = [math.asin(box) for box in boxes]
    differences = [angles[i] - angles[i + 1] for i in range(n - 1)]
    return max(differences) - min(differences)


def eps(divisions):
    n = len(divisions) - 1
    print('%!PS-Adobe-3.0 EPSF-3.0')
    print('%%BoundingBox: 0 0 216 216')
    print('0.008 setlinewidth')
    print('108 108 translate')
    print('90 90 scale')
    print('newpath 1 1 moveto -1 1 lineto -1 -1 lineto 1 -1 lineto closepath stroke')
    print('newpath 0 0 1 0 360 arc closepath stroke')
    for i in range(n):
        x = 0.5 * (divisions[i] + divisions[i + 1])
        print('newpath {} {} moveto 0.05 0.05 rmoveto -0.1 0 rlineto 0 -0.1 rlineto 0.1 0 rlineto 0 0.1 closepath fill'.format(x, math.sqrt(1 - x ** 2)))
    print('[0.016 0.016] 0 setdash')
    for i in range(1, n):
        print('newpath {} 1 moveto 0 -2 rlineto stroke'.format(divisions[i]))


if __name__ == '__main__':
    eps(layout(11))
    for m in range(2, 12):
        print(quality(layout(m)), file=sys.stderr)

像这样假设标准数学坐标。

         +y
          ^
          |
   (-1,1) | (1,1)
         +-+
-x <-----|O|-----> +x
         +-+
  (-1,-1) | (1,-1)
          |
          v
         -y

由于盒子在圆上应该有等距的中心，因此这些中心应该有固定间隔的角度。角度θ(以弧度为单位)的点是(cos θ, sin θ)。圆的顶部是 θ = π/2，因此您示例中的角度可能是(从左到右)11π/12、3π/4、7π/12、5π/12 , π/4, π/12(区间为-π/6)。

设这些点的 x 坐标为 b(1) ≤ b(2) ≤ ... ≤ b(n)(b 为框)。我们想要找到分隔符位置 d(1) ≤ d(2) ≤ ... ≤ d(n-1) 使得每个框都以两个相邻分隔符的中点为中心，即，

       d(0) + d(1)
b(1) = -----------
            2

       d(1) + d(2)
b(2) = -----------
            2

...

       d(n-1) + d(n)
b(n) = ------------- ,
             2

其中 d(0) = -1 和 d(n) = 1 是盒子的边缘。

这是一个 n 方程组，n-1 变量。对于b(i) 的一般值，该系统不会有解。幸运的是，可以展示可以实现的 b(i) 的特定选择。

b(i) = -cos((i/(n+1)) pi)