algorithm - 您如何找到对已知列表进行排序的最小交换集？

Question

众所周知，对未知列表进行排序的问题平均无法在 N * log(N) 步内完成。但是如何为已知列表 找到最佳排序呢？也就是说，假设您有以下列表:

[1,3,2,7,4]

在那种情况下，只有 2 次交换才能让它排序:

swap 1 2
swap 3 4

这远小于 5 * log 5。如何找到使特定列表排序的最小交换集？

注意:这个问题与my previous one非常相似, 除了没有堆栈机器。

Answer 1

一旦将排列变成 cycle decomposition，这个问题就变得容易多了.

对于您的示例，使用从零开始的索引的循环分解是 (0)(2 1)(4 3)。每个长度为 k 的循环将需要 k-1 次交换以按正确的顺序放置，因此最小交换集的答案是每个循环的 (cycle length - 1) 之和，确切的交换集由识别循环并将循环中的每个元素与循环中的下一个元素切换。

这种方法的复杂度是 O(nlogn) 找到每个元素的秩加上 O(n) 找到循环分解。

这个答案假定您可以交换任意一对元素。

如果您只能交换相邻元素，则需要计算数组中的反转次数，请参阅 counting inversions .