algorithm - 图中唯一顶点权重的最大总和

Question

我得到了一个有向图，其中权重分配给了顶点，而不是边。我的目标是在此图中找到路径的最大权重。路径的权重是它包含的所有唯一 顶点的权重之和。一个顶点可能在一条路径上被访问多次，尽管它只计算一次。

周期可能而且很可能会出现。

权重是正整数。

无需重新构建路径。

由于图的大小，不能用邻接矩阵表示(这可能会对时间复杂度有影响)。

图不必是强连通或弱连通。

例子:


1 -> 20 -> 5
A |
| \/
14 <- 33
最好的路径将是 1 -> 20 -> 33 -> 14 -> 1 -> 20 -> 5总和73 .

Answer 1

第一步:消除所有循环。您可以通过选择任何节点并从那里执行 DFS 来找到一个循环。如果你没有找到一个循环，找到另一个你在之前的 DFS 中没有访问过的节点，并从那个节点做一个 DFS。如果您发现一个循环，则将所有节点折叠成一个。基本上如果你到达循环中的任何一个节点，你将通过循环来获得所有的权重。由于您可以重复使用节点和边，因此您将始终能够像以前一样继续您的路径。找到循环后重复该算法，直到折叠所有循环。

第二步:找到一条通过折叠图的路径。现在没有循环，因此您可以使用 Bellman Ford 并找到最长的路线(您需要更改条件以寻找更长的路径而不是更短的路径)。因为每个折叠的节点都有它代表的循环的权重，所以你得到了你正在寻找的权重。如果你想重建路径，那么你还需要查看你折叠的循环并将它们扩展到位，注意添加从输入点到循环退出点的路径(假设你有一个有 10 个节点的循环，输入边到节点1但是导出边从节点5开始，所以你需要从输入边开始添加整个循环1,2,3,4,5.. 10然后添加循环的一部分将您带到导出边缘，在本例中为 1,2,3,4,5)。

复杂度为 O(N^2)。 DFS 是 O(N)(包括选择其他节点，以防你从当前节点中找不到)并且每次你至少消除一个节点(你不能有一个单一节点的循环)所以你会运行最多N次。 BellmanFord算法也是O(N^2)。重建应该至多为O(N)。