algorithm - Quick Union 的时间复杂度是多少？

Question

我正在学习关于数据结构和算法的 coursera 类(class)。作者提到 Quick Find 是 O(N^2)，这是有道理的(假设 N 个对象上的 N 个联合操作可能需要 N*N 个数组访问)。但是，我不明白为什么 Quick Union 会更好。似乎在最坏的情况下，一棵又长又窄的树，对 N 个对象的 N 个 Find 操作也会导致 O(N^2)，但 Material 说它是 O(N)。

所以，一个是二次时间，一个是线性时间。我不确定我是否理解为什么会有差异。示例:

快速查找方法

int[] id = new int[10];

for(int i = 0; i < 10; i++)
    id[i] = i;  

// Quick find approach

int QuickFind(int p)
{
    return id[p];
}

public void Union(int p, int q)
{
    int pId = find(p);
    int qId = find(q);

    if (pId == qId)
        return;

    for (int i = 0; i < id.length; i++)
    {
        if(id[i] == pId)
            id[i] = qId;
    }
}

快速联合方法

int Find(int p)
{
    while(p != id[p])
        p = id[p];

    return p;
}

void QuickUnion(int p, int q)
{
    int pRoot = Find(p);
    int qRoot = Find(q);

    if(pRoot == qRoot)
        return;

    id[pRoot] = qRoot;
}

Answer 1

// Naive implementation of find
int find(int parent[], int i)
{
    if (parent[i] == -1)
        return i;
    return find(parent, parent[i]);
}

// Naive implementation of union()
void Union(int parent[], int x, int y)
{
    int xset = find(parent, x);
    int yset = find(parent, y);
    parent[xset] = yset;
}

上面的 union() 和 find() 是天真的，最坏情况下的时间复杂度是线性的。为表示子集而创建的树可以是倾斜的，并且可以变得像链表。以下是最坏情况的示例。

Let there be 4 elements 0, 1, 2, 3

Initially all elements are single element subsets.
0 1 2 3 

Do Union(0, 1)
   1   2   3  
  /
 0

Do Union(1, 2)
     2   3   
    /
   1
 /
0

Do Union(2, 3)
         3    
        /
      2
     /
   1
 /
0

上述操作在最坏情况下可以优化到O(Log n)。这个想法是总是在更深的树的根下附加更小的深度树。这种技术称为按等级合​​并。首选术语排名而不是高度，因为如果使用路径压缩技术(我在下面讨论过)，那么排名并不总是等于高度。

Let us see the above example with union by rank
Initially all elements are single element subsets.
0 1 2 3 

Do Union(0, 1)
   1   2   3  
  /
 0

Do Union(1, 2)
   1    3
 /  \
0    2

Do Union(2, 3)
    1    
 /  |  \
0   2   3

对朴素方法的第二个优化是路径压缩。想法是在调用 find() 时将树展平。当为元素 x 调用 find() 时，返回树的根。 find() 操作从x 向上遍历找到根。路径压缩的思想是让找到的根成为x的父节点，这样我们就不用再遍历所有的中间节点了。如果 x 是子树的根，则 x 下的所有节点的路径(到根)也会压缩。

Let the subset {0, 1, .. 9} be represented as below and find() is called
for element 3.
              9
         /    |    \  
        4     5      6
     /     \        /  \
    0        3     7    8
            /  \
           1    2  

When find() is called for 3, we traverse up and find 9 as representative
of this subset. With path compression, we also make 3 as child of 9 so 
that when find() is called next time for 1, 2 or 3, the path to root is 
reduced.

               9
         /    /  \    \
        4    5    6     3 
     /           /  \   /  \
    0           7    8  1   2           

这两种技术相辅相成。每个操作的时间复杂度变得比O(logn) ~ O(n)还要小。事实上，摊销时间复杂度实际上变成了小常量。

我没有发布经过上述优化的代码，因为我猜这是赋值部分。希望对您有所帮助!