algorithm - 最大限度地减少运输时间

Question

[底部更新(包括解决方案源代码)]

我有一个具有挑战性的业务问题，计算机可以帮助解决。

沿着山区流淌着一条蜿蜒的长河，水流湍急。沿着河流的某些部分是环境敏感的土地，适合种植需求量非常大的特殊类型的稀有水果。一旦田间劳动者收获了水果，时钟开始滴答作响，将水果送到加工厂。尝试将水果向上游或通过陆路或空中运送的成本非常高。到目前为止，将它们运送到工厂的最具成本效益的机制是在下游使用仅由恒流提供动力的容器。我们有能力 build 10 个加工厂，并且需要将它们选在河边，以尽量减少水果在运输过程中花费的总时间。水果可能需要很长时间才能到达最近的下游工厂，但这段时间直接影响了它们的销售价格。实际上，我们希望最小化到最近的各个下游工厂的距离总和。植物可以位于水果接入点下游 0 米处。

问题是:如果我们找到了32个水果种植区，那么为了利润最大化，我们应该在河流上游多建10个加工厂，这些种植区距离河底的上游距离是(以米为单位) ):10, 40, 90, 160, 250, 360, 490, ... (n^2)*10 ... 9000, 9610, 10320?

[希望解决此问题以及创建类似问题和使用场景的所有工作都有助于提高人们对软件/商业方法专利(无论是什么这些专利在某个地方可能被认为是合法的。]

更新

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Update1:​​忘了补充:我相信这个问题是this one的特例.

更新 2:我编写的一种算法可以在几分之一秒内给出答案，我认为它相当不错(但它在样本值之间还不稳定)。稍后我将提供更多详细信息，但简短如下。将植物等间距放置。循环遍历所有内部植物，在每个植物处，您通过测试其两个邻居之间的每个位置来重新计算其位置，直到问题在该空间内得到解决(贪心算法)。因此，您优化了固定 1 和 3 的工厂 2。然后种植 3 固定 2 和 4...当你到达终点时，你循环回来并重复直到你进入一个完整的循环，每个加工厂的重新计算位置停止变化......同样在每个循环结束时，你尝试移动加工厂彼此拥挤，并且都靠近彼此的水果堆，进入一个水果堆很远的区域。有很多方法可以改变细节，从而产生准确的答案。我还有其他候选算法，但都有问题。 [我稍后会发布代码。]正如 Mike Dunlavey 在下面提到的，我们可能只想要“足够好”。

要了解什么可能是“足够好”的结果:

10010 total length of travel from 32 locations to plants at 
{10,490,1210,1960,2890,4000,5290,6760,8410,9610}

更新 3:mhum 首先给出了正确的精确解，但(还)没有发布程序或算法，所以我写了一个产生相同值的程序或算法。

/************************************************************
This program can be compiled and run (eg, on Linux):
$ gcc -std=c99 processing-plants.c -o processing-plants
$ ./processing-plants
************************************************************/

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <string.h>

//a: Data set of values. Add extra large number at the end

int a[]={
10,40,90,160,250,360,490,640,810,1000,1210,1440,1690,1960,2250,2560,2890,3240,3610,4000,4410,4840,5290,5760,6250,6760,7290,7840,8410,9000,9610,10240,99999
};

//numofa: size of data set

int numofa=sizeof(a)/sizeof(int);

//a2: will hold (pt to) unique data from a and in sorted order.

int *a2;

//max: size of a2

int max;

//num_fixed_loc: at 10 gives the solution for 10 plants

int num_fixed_loc;

//xx: holds index values of a2 from the lowest error winner of each cycle memoized. accessed via memoized offset value. Winner is based off lowest error sum from left boundary upto right ending boundary.
//FIX: to be dynamically sized.

int xx[1000000];

//xx_last: how much of xx has been used up

int xx_last=0;

//SavedBundle: data type to "hold" memoized values needed (total traval distance and plant locations) 

typedef struct _SavedBundle {
    long e;
    int xx_offset;
} SavedBundle;

//sb: (pts to) lookup table of all calculated values memoized

SavedBundle *sb;  //holds winning values being memoized

//Sort in increasing order.

int sortfunc (const void *a, const void *b) {
    return (*(int *)a - *(int *)b);
}

/****************************
Most interesting code in here
****************************/

long full_memh(int l, int n) {
    long e;
    long e_min=-1;
    int ti;

    if (sb[l*max+n].e) {
        return sb[l*max+n].e;  //convenience passing
    }
    for (int i=l+1; i<max-1; i++) {
        e=0;
        //sum first part
        for (int j=l+1; j<i; j++) {
            e+=a2[j]-a2[l];
        }
        //sum second part
        if (n!=1) //general case, recursively
            e+=full_memh(i, n-1);
        else      //base case, iteratively
            for (int j=i+1; j<max-1; j++) {
                e+=a2[j]-a2[i];
            }
        if (e_min==-1) {
            e_min=e;
            ti=i;
        }
        if (e<e_min) {
            e_min=e;
            ti=i;
        }
    }
    sb[l*max+n].e=e_min;
    sb[l*max+n].xx_offset=xx_last;
    xx[xx_last]=ti;      //later add a test or a realloc, etc, if approp
    for (int i=0; i<n-1; i++) {
        xx[xx_last+(i+1)]=xx[sb[ti*max+(n-1)].xx_offset+i];
    }
    xx_last+=n;
    return e_min;
}

/*************************************************************
Call to calculate and print results for given number of plants
*************************************************************/

int full_memoization(int num_fixed_loc) {
    char *str;
    long errorsum;  //for convenience

    //Call recursive workhorse
    errorsum=full_memh(0, num_fixed_loc-2);
    //Now print
    str=(char *) malloc(num_fixed_loc*20+100);
    sprintf (str,"\n%4d %6d {%d,",num_fixed_loc-1,errorsum,a2[0]);
    for (int i=0; i<num_fixed_loc-2; i++)
        sprintf (str+strlen(str),"%d%c",a2[ xx[ sb[0*max+(num_fixed_loc-2)].xx_offset+i ] ], (i<num_fixed_loc-3)?',':'}');
    printf ("%s",str);
    return 0;
}

/**************************************************
Initialize and call for plant numbers of many sizes
**************************************************/

int main (int x, char **y) {
    int t;
    int i2;

    qsort(a,numofa,sizeof(int),sortfunc);
    t=1;
    for (int i=1; i<numofa; i++)
        if (a[i]!=a[i-1])
            t++;
    max=t;
    i2=1;
    a2=(int *)malloc(sizeof(int)*t);
    a2[0]=a[0];
    for (int i=1; i<numofa; i++)
        if (a[i]!=a[i-1]) {
            a2[i2++]=a[i];
        }
    sb = (SavedBundle *)calloc(sizeof(SavedBundle),max*max);
    for (int i=3; i<=max; i++) {
        full_memoization(i);
    }
    free(sb);
    return 0;
}

Answer 1

让我给你一个简单的例子 Metropolis-Hastings算法。假设您有一个状态向量 x 和一个拟合优度函数 P(x)，它可以是您想要编写的任何函数。

假设您有一个可用于修改向量的随机分布 Q，例如 x' = x + N(0, 1) * sigma，其中N 是关于 0 的简单正态分布，sigma 是您选择的标准差。

p = P(x);
for (/* a lot of iterations */){
  // add x to a sample array
  // get the next sample
  x' = x + N(0,1) * sigma;
  p' = P(x');
  // if it is better, accept it
  if (p' > p){
    x = x';
    p = p';
  }
  // if it is not better
  else {
    // maybe accept it anyway
    if (Uniform(0,1) < (p' / p)){
      x = x';
      p = p';
    }
  }
}

通常，它会经过大约 1000 次循环的老化时间，然后开始收集样本。再经过 10,000 次循环后，样本的平均值就是您作为答案的结果。

它需要诊断和调整。通常会绘制样本，而您正在寻找的是稳定(不会移动太多)且接受率高(非常模糊)的“模糊毛毛虫”图。您可以使用的主要参数是 sigma。如果 sigma 太小，情节会模糊但会四处游荡。如果它太大，图就不会模糊——它会有水平线段。通常随机选择起始向量 x，并且通常会选择多个起始向量，以查看它们是否在同一个位置结束。

没有必要同时改变状态向量 x 的所有分量。您可以循环浏览它们，一次改变一个，或采用类似的方法。

此外，如果您不需要诊断图，则可能不需要保存样本，只需即时计算平均值和方差即可。

在我熟悉的应用程序中，P(x) 是概率的度量，通常在对数空间中，因此它可以在 0 到负无穷大之间变化。然后执行“可能接受”步骤是 (exp(logp' - logp))