java - 柏林噪声的输出范围

Question

我正在研究一些针对相干噪声的各种实现(我知道有一些库，但这主要是出于我自己的启迪和好奇心)以及如何使用它，我对原始版本有一个问题Perlin 噪声。

根据 this frequently linked Math FAQ , 输出范围将在 -1 之间和 1 ，但我不明白该值如何进入该范围内。

据我了解，该算法基本上是这样的:每个网格点都有一个长度为 1 的相关随机梯度 vector 。 .然后，对于每个点，对于所有四个周围的网格点，您计算随机梯度和从该网格点出发的 vector 的点积。然后，您使用奇特的缓动曲线和线性插值将其降低到一个值。

但是，这是我的问题:这些点积偶尔会超出范围 [-1, 1] ，并且由于您最终在点积之间进行了线性插值，这是否意味着最终值有时会超出 [-1, 1] 的范围？ ？

例如，假设其中一个随机 vector 是 (sqrt(2)/2, sqrt(2)/2) (长度为 1)和 (0.8, 0.8) (在单位正方形中)，你得到的结果大约是 1.131 .如果在线性插值中使用该值，则生成的值完全有可能大于 1。 .事实上，在我直接实现的情况下，这种情况经常发生。

我是不是漏掉了什么？

作为引用，这是我的 Java 代码。 Vec是一个简单的类来进行简单的二维 vector 运算，fade()是缓和曲线，lerp()是线性插值，gradient(x, y)为您提供该网格点的渐变 Vec . gridSize变量以像素为单位给出网格的大小(它的类型为 double):

public double getPoint(int x, int y) {
    Vec p = new Vec(x / gridSize, y / gridSize);
    Vec d = new Vec(Math.floor(p.x), Math.floor(p.y));


    int x0 = (int)d.x,
        y0 = (int)d.x;


    double d00 = gradient(x0    , y0    ).dot(p.sub(x0    , y0    )),
           d01 = gradient(x0    , y0 + 1).dot(p.sub(x0    , y0 + 1)),
           d10 = gradient(x0 + 1, y0    ).dot(p.sub(x0 + 1, y0    )),
           d11 = gradient(x0 + 1, y0 + 1).dot(p.sub(x0 + 1, y0 + 1));

    double fadeX = fade(p.x - d.x),
           fadeY = fade(p.y - d.y);

    double i1 = lerp(fadeX, d00, d10),
           i2 = lerp(fadeX, d01, d11);

    return lerp(fadeY, i1, i2);
}

编辑:这里是生成随机梯度的代码:

double theta = gen.nextDouble() * 2 * Math.PI; 
gradients[i] = new Vec(Math.cos(theta), Math.sin(theta));

在哪里gen是 java.util.Random .

Answer 1

你有 y0 = (int)d.x;，但你的意思是 d.y。这肯定会影响您的输出范围，这也是您看到如此大范围超出范围的值的原因。

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也就是说，柏林噪声的输出范围不是实际上是[-1, 1]。虽然我自己不太确定数学(我一定是变老了)，this rather lengthy discussion得出实际范围是 [-sqrt(n)/2, sqrt(n)/2]，其中 n 是维数(在您的例子中是 2)。因此，您的 2D Perlin 噪声函数的输出范围应为 [-0.707, 0.707]。这在某种程度上与 d 和插值参数都是 p 的函数这一事实有关。如果通读该讨论，您可能会找到所需的准确解释(特别是 post #7 )。

我正在使用以下程序测试您的实现(我从您的示例中拼凑而成，所以请原谅 gridCells 和 gridSize 的奇怪使用):

import java.util.Random;


public class Perlin {

    static final int gridSize = 200;
    static final int gridCells = 20;
    static final Vec[][] gradients = new Vec[gridCells + 1][gridCells + 1];

    static void initializeGradient () {
        Random rand = new Random();
        for (int r = 0; r < gridCells + 1; ++ r) {
            for (int c = 0; c < gridCells + 1; ++ c) {
                double theta = rand.nextFloat() * Math.PI;
                gradients[c][r] = new Vec(Math.cos(theta), Math.sin(theta));                
            }
        }
    }

    static class Vec {
        double x;
        double y;
        Vec (double x, double y) { this.x = x; this.y = y; }
        double dot (Vec v) { return x * v.x + y * v.y; }
        Vec sub (double x, double y) { return new Vec(this.x - x, this.y - y); }
    }

    static double fade (double v) {
        // easing doesn't matter for range sample test.
        // v = 3 * v * v - 2 * v * v * v;
        return v;
    }

    static double lerp (double p, double a, double b) {
        return (b - a) * p + a;
    }

    static Vec gradient (int c, int r) {
        return gradients[c][r];
    }

    // your function, with y0 fixed. note my gridSize is not a double like yours.     
    public static double getPoint(int x, int y) {

        Vec p = new Vec(x / (double)gridSize, y / (double)gridSize);
        Vec d = new Vec(Math.floor(p.x), Math.floor(p.y));

        int x0 = (int)d.x,
            y0 = (int)d.y;

        double d00 = gradient(x0    , y0    ).dot(p.sub(x0    , y0    )),
               d01 = gradient(x0    , y0 + 1).dot(p.sub(x0    , y0 + 1)),
               d10 = gradient(x0 + 1, y0    ).dot(p.sub(x0 + 1, y0    )),
               d11 = gradient(x0 + 1, y0 + 1).dot(p.sub(x0 + 1, y0 + 1));

        double fadeX = fade(p.x - d.x),
               fadeY = fade(p.y - d.y);

        double i1 = lerp(fadeX, d00, d10),
               i2 = lerp(fadeX, d01, d11);

        return lerp(fadeY, i1, i2);

    }

    public static void main (String[] args) {

        // loop forever, regenerating gradients and resampling for range. 
        while (true) {

            initializeGradient();

            double minz = 0, maxz = 0;

            for (int x = 0; x < gridSize * gridCells; ++ x) {
                for (int y = 0; y < gridSize * gridCells; ++ y) {
                    double z = getPoint(x, y);
                    if (z < minz)
                        minz = z;
                    else if (z > maxz)
                        maxz = z;
                }
            }

            System.out.println(minz + " " + maxz);

        }

    }

}

我看到的值在 [-0.707, 0.707] 的理论范围内，尽管我通常看到的值介于 -0.6 和 0.6 之间；这可能只是值分布和低采样率的结果。