performance - n的渐近增长选择floor(n/2)-6ren

performance - n的渐近增长选择floor(n/2)

转载作者：塔克拉玛干更新时间：2023-11-03 03:43:12

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如何找到 n choose floor(n/2) 的渐近增长？我试过使用扩展并得到它等于

[n*(n-1)*........*(floor(n/2)+1)] / (n-floor(n/2))!

知道我该怎么做吗？感谢任何帮助，更喜欢提示而不是答案

最佳答案

我同意上面的回答，但想提供更多的深度。假设 n 是偶数，我们有:

$\binom{n}{n/2} \leq \frac{n!}{\left ( \frac{n}{2}! \right )^2}$

为了上限，我们使用 Stirling's Approximation 的上限在分子中和分母中的下限(例如，我们想要最大的分子和最小的分母)。这将为我们提供上限:

$\binom{n}{n/2} \leq \frac{e\cdot n^{n+\frac12}\cdot e^{-n}}{\left (\sqrt{2\pi}\cdot \left (\frac{n}{2} \right )^{\frac{n+1}{2}}\cdot e^{-\frac{n}{2}}\right )^2}$

然后我们将指数分布在分母中得到:

$\binom{n}{n/2} \leq \frac{e\cdot n^{n+\frac12}}{2\pi\cdot \left (\frac{n}{2} \right )^{n+1}}$

取消 $e^{-n}$ , 移动 $2^{n+1}$ 从分母到分子并化简；我们得到:

$\binom{n}{n/2} \leq \frac{e}{\pi} \cdot \frac{2^n}{\sqrt{n}}$

按照与下限相同的过程，将 Stirling 近似上限放在分母中，将下限放在分子中。这将产生:

$\binom{n}{n/2} \geq \frac{2 \sqrt{2\pi}}{e^2} \cdot \frac{2^n}{\sqrt{n}}$

然后我们知道它的下界是一些常数时间 $\frac{2^n}{\sqrt{n}}$ 它的上限是另一个常数时间 $\frac{2^n}{\sqrt{n}}$ .

因此，我们得出结论其渐近增长是 $\binom{n}{n/2} \in \Theta \left (\frac{2^n}{\sqrt{n}} \right )$ .

关于performance - n的渐近增长选择floor(n/2)，我们在Stack Overflow上找到一个类似的问题： https://stackoverflow.com/questions/25813440/

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