用曲线连接图中点的算法

Question

我需要开发一种算法，以非线性方式连接点，即使用平滑曲线，如下图:

问题是我找不到最好的解决方案，要么使用 Bezier Curves , Polimonial Interpolation , Curve Adjustment ,等等。

简而言之，我需要一个根据上图对点进行插值的公式，在一个坐标和另一个坐标之间生成N个中间点。

在上图中，第一个坐标 (c1) 是 (x = 1, y = 220)，第二个 (c2) 是 (x = 2, y = 40)。

因此，如果我想在 c1 和 c2 之间创建例如 4 个中间坐标，我将必须获得一个包含 4 个元素的数组 (x, y)，如下所示:

[1.2, 180], [1.4, 140], [1.6, 120], [1.8, 80]

有没有人有什么想法？

Answer 1

我认为任何Piecewise curve interpolation应该这样做。这里有一个小的 C++ 例子:

//---------------------------------------------------------------------------
const int n=7;      // points
const int n2=n+n;
float pnt[n2]=      // points x,y ...
    {
    1.0, 220.0,
    2.0,  40.0,
    3.0,-130.0,
    4.0,-170.0,
    5.0,- 40.0,
    6.0,  90.0,
    7.0, 110.0,
    };
//---------------------------------------------------------------------------
void getpnt(float *p,float t)   // t = <0,n-1>
    {
    int i,ii;
    float *p0,*p1,*p2,*p3,a0,a1,a2,a3,d1,d2,tt,ttt;
    // handle t out of range
    if (t<=      0.0f){ p[0]=pnt[0]; p[1]=pnt[1]; return; }
    if (t>=float(n-1)){ p[0]=pnt[n2-2]; p[1]=pnt[n2-1]; return; }
    // select patch
    i=floor(t);             // start point of patch
    t-=i;                   // parameter <0,1>
    i<<=1; tt=t*t; ttt=tt*t;
    // control points
    ii=i-2; if (ii<0) ii=0; if (ii>=n2) ii=n2-2; p0=pnt+ii;
    ii=i  ; if (ii<0) ii=0; if (ii>=n2) ii=n2-2; p1=pnt+ii;
    ii=i+2; if (ii<0) ii=0; if (ii>=n2) ii=n2-2; p2=pnt+ii;
    ii=i+4; if (ii<0) ii=0; if (ii>=n2) ii=n2-2; p3=pnt+ii;
    // loop all dimensions
    for (i=0;i<2;i++)
        {
        // compute polynomial coeficients
        d1=0.5*(p2[i]-p0[i]);
        d2=0.5*(p3[i]-p1[i]);
        a0=p1[i];
        a1=d1;
        a2=(3.0*(p2[i]-p1[i]))-(2.0*d1)-d2;
        a3=d1+d2+(2.0*(-p2[i]+p1[i]));
        // compute point coordinate
        p[i]=a0+(a1*t)+(a2*tt)+(a3*ttt);
        }
    }
//---------------------------------------------------------------------------
void gl_draw()
    {
    glClearColor(1.0,1.0,1.0,1.0);
    glClear(GL_COLOR_BUFFER_BIT);
    glDisable(GL_DEPTH_TEST);
    glDisable(GL_TEXTURE_2D);

    // set 2D view 
    glMatrixMode(GL_PROJECTION);
    glLoadIdentity();
    glMatrixMode(GL_MODELVIEW);
    glLoadIdentity();
    glScalef(1.0/5.0,1.0/500.0,1.0);
    glTranslatef(-4.0,0.0,0.0);

    // render lines
    glColor3f(1.0,0.0,0.0);
    glBegin(GL_LINE_STRIP);
    float p[2],t;
    for (t=0.0;t<=float(n-1);t+=0.1f)
        {
        getpnt(p,t);
        glVertex2fv(p);
        }
    glEnd();

    // render points
    glPointSize(4.0);
    glColor3f(0.0,0.0,1.0);
    glBegin(GL_POINTS);
    for (int i=0;i<n2;i+=2) glVertex2fv(pnt+i);
    glEnd();
    glPointSize(1.0);

    glFinish();
    SwapBuffers(hdc);
    }
//---------------------------------------------------------------------------

这里预览:

如您所见，这很简单，您只需要 n控制点 pnt (我从你的图表中提取)并插入...... getpnt函数将计算由参数 t=<0,n-1> 寻址的曲线上的任何点.在内部，它只是选择使用哪个立方 block 并计算为单个立方曲线。在 gl_draw您可以了解如何使用它来获取两者之间的点。

由于您的控制点均匀分布在 x 上轴:

x = <1,7>
t = <0,6>

我会写:

x = t+1
t = x-1

所以你可以计算任何x的任何点也是……

形状与您的图形不完全匹配，因为选择的控制点不正确。任何局部最小值/最大值都应该是一个控制点，有时也使用拐点更安全。曲线的起点和终点形状暗示了隐藏的起点和终点控制点，这些控制点没有显示在图表上。您可以使用所需的任意数量的点，但请注意，如果您破坏了 x 均匀分布，那么您将失去计算 t 的能力。来自 x直接!

因为我们不知道图表是如何创建的，所以我们只能猜测......