algorithm - 计算算法的时间复杂度

Question

如何计算函数f的时间复杂度？

void f(int n)
{
    if (n <= 1)
       return;
    g(n, n / 3);
}

void g(int n, int m)
{
    int i = 1;
    while (m < n) {
       m += i;
       i++;
    }
    f(n / 2);
} 

答案是 sqrt(n)，但我不知道如何...

谢谢

Answer 1

首先，请注意，通过在 f() 中内联 g(n,m)，该程序现在可以转换为单个函数程序:

void f(int n)
{
    if (n <= 1)
       return;
    m = n/3;
    while (m < n) {
       m += i;
       i++;
    }
    f(n / 2);
} 

内循环在O(sqrt(n))迭代中运行，因为它从n/3开始，以n结束，并且增加了 1,2,3,... 所以如果我们对它求和我们得到:

n/3 + (1 + 2 + ... + i) >= n

我们需要求解上面的方程来求出i的最终值，我们得到:

1 + 2 + ... + i >= 2n/3

从等差数列和:

i(i+1)/2 >= 2n/3

从上面的不等式，we can conclude确实 i 在 O(sqrt(n)) 中。

因此，我们可以将复杂度表示为:

T(n) = T(n/2)              +           O(sqrt(n))
        ^                                ^
    recursive step                 syntatic sugar for some function
                                   which is in O(sqrt(n)).

现在，我们可以看到:

T(n) = T(n/2) + sqrt(n) = T(n/4) + sqrt(n/2) + sqrt(n) = ... =
     = sqrt(1) + ... + sqrt(n/2) + sqrt(n)

And the above sum is in O(sqrt(n))