algorithm - 找到与另一个子集总和匹配的最小子集总和

Question

我有一个现实世界的问题(不是家庭作业!)需要找到集合 A 的子集的总和等于其他集合 B 的子集的总和。

一个非常相似的问题，有一个有用的答案 is here .

考虑这个例子:

@a = qw(200 2000 2000 2000 4000);
@b = qw(528 565 800 1435 2000 2000 2872);

使用 the code在该问题的已接受答案中提供，我得到以下输出:

sum(200 2000 4000) = sum(528 800 2000 2872)
sum(200 4000 4000) = sum(528 800 2000 2000 2872)
sum(200 4000) = sum(528 800 2872)
sum(200 2000 2000 2000 4000) = sum(528 800 2000 2000 2000 2872)

出于我的目的，我只想要使用输入集中最少元素的答案。在这个例子中，我只想

sum(200 4000) = sum(528 800 2872)

因为所有其他答案的总和也有 200 和 4000。也就是说，我只是在寻找“最简单”的可能总和(从某种意义上说，它们使用的元素最少)。有人可以建议一种合理有效的方法吗？ (蛮力是可以的，因为我的阵列不是那么大。)

另外，我应该注意到输出的第二行 sum(200 4000 4000) ... 是不正确的，因为 4000 只出现一次@a。恐怕我对算法的理解不够深入，看不出为什么会这样。

如能提供任何帮助，我们将不胜感激!

Answer 1

此问题是 NP 完全问题，因此除非 P=NP，否则您将无法对输入的大小进行指数运算。现在，关于这类问题的妙处在于，实际上有两种方法可以解决，这两种方法将把指数放在问题的不同方面。

首先，如果您的总和没有太多元素，您可以通过搜索所有组合来强行解决这个问题。这种方法在集合中的元素数量上呈指数增长，并且在每个容器 20 个左右的元素时也能很好地工作。之后它会变得非常讨厌。

第二种选择是使用动态规划。与以前的方法不同，该算法在写出每个数字所需的位数方面呈指数级增长。您要做的是跟踪所有可能的总和以及生成它们所需的最少元素数。这是对您在答案中链接到的解决方案的简单修改。

这里是一些 python 代码，生成它们可以相交的所有可能值:

    def gen_sum(a):
        r = { 0: [] }
        for x in a:
            for y, v in r.items():
                if not (x+y) in r or len(r[x+y]) > len(v) + 1:
                    r[x+y] = v + [x]
        return r

    def gen_sums(a, b):
        asum = gen_sum(a)
        bsum = gen_sum(b)
        return [ (k, v, bsum[k]) for k,v in asum.items() if k in bsum ][1:]

在您的示例数据上运行它，我得到:

[(4000, [4000], [2000, 2000]), (6000, [2000, 4000], [565, 1435, 2000, 2000]), (2000, [2000], [2000]), (4200, [200, 4000], [528, 800, 2872]), (10200, [200, 2000, 2000, 2000, 4000], [528, 565, 800, 1435, 2000, 2000, 2872]), (8200, [200, 2000, 2000, 4000], [528, 800, 2000, 2000, 2872]), (6200, [200, 2000, 4000], [528, 800, 2000, 2872])]

编辑:修正了一个打字错误，并且刚刚注意到该死的，很多人已经非常快地回答了这个问题。