algorithm - 与给定向量形成正交基的矩阵

Question

一道线性代数题；

给定一个 k 变量赋范向量 u(即 u : ||u||_2=1)你如何构造\Gamma_u，任意任意 k*(k-1)单位向量的矩阵使得 (u,\Gamma_u) 形成一个 正交基 ?

我的意思是:从计算的角度来看:你用什么算法来构造这样的矩阵？

提前致谢

Answer 1

天真的方法是对 u_0 和 k-1 随机生成的向量应用 Gram Schmidt 正交化。如果 GS 算法在某个时候生成了一个零向量，那么你就有了线性依赖，在这种情况下再次随机选择向量。

但是这种方法不稳定，向量表示中的小数值误差会被放大。然而，这个算法存在一个稳定的修改:

设 a_1 = u, a_2,...a_k 是随机选择的向量

for i = 1 to k do 
        vi = ai
end for 

for i = 1 to k do
    rii = |vi| 
    qi = vi/rii
    for j = i + 1 to k do
       rij =<qi,vj>
       vj =vj −rij*qi 
    end for
end for

生成的向量 v1,...vk 将是矩阵的列，其中 v1 = u。如果在某个时候 vj 变为零，请选择一个新向量 aj 并重新开始。请注意，如果向量 a2,..,ak 是随机选择的，则发生这种情况的概率可以忽略不计。