algorithm - 用于解决给定硬币输出的 HMM

Question

我在 HMM 上收到了这个作业问题，我已经解决了。我想知道我是否正确。问题是:

Suppose a dishonest dealer has two coins, one fair and one biased; the biased coin has heads probability 1/4. Assume that the dealer never switches the coins. Which coin is more likely to have generated the sequence HTTTHHHTTTTHTHHTT? It may be useful to know that log₂(3) = 1.585

我计算了公平硬币和有偏见硬币的 P。公平硬币的 P 为 7.6*10^-6，而有偏见硬币的 P 为 3.43*10^-6。我没有使用log term，如果我用其他方式解决它就可以使用它。因此，我得出结论，给定的序列更有可能是由一枚公平的硬币生成的。

我说得对吗？

非常感谢任何帮助。

Answer 1

所以你得到了以下内容。

P(H|Fake) = 1/4 P(T|Fake) = 3/4
P(H|Fair) = 1/2 P(T|Fair) = 1/2
P(Fair) = 1/2 P(Fake) = 1/2

要回答您需要回答 P(Fake/HTTPTHHHTTPTTHHTT) 和 P(Fair/HTTPTTHHHTTPTTHHTT) 的问题，您需要对其应用贝叶斯:

令 X 为 HTTTHHHTTPTTHTHHTT

P(Fake|X) = (P(X|Fake) * P(Fake)) / P(X)
P(Fair|X) = (P(X|Fair) * P(Fair)) / P(X)

在哪里

P(X) = P(X|Fake) * P(Fake) + P(X|Fair) * P(Fair)
P(X) = (3.43710e-6 * 0.5) + (7.629e-6 * 0.5) = 5.533e-6

因此

P(Fake|X) = (3.43710e-6 * 0.5) / 5.533e-6 = 0.3106
P(Fair|X) = (7.629e-6 * 0.5) / 5.533e-6 = 0.6894

因此，更有可能使用的硬币是公平的。尽管直觉上人们可能会认为所选硬币是假币，但事实似乎并非如此。给定的分布更接近 0.5 尾 0.5 头，而不是 0.25 头 0.75 尾。例如，在尾部 10/17 为 0.58 的情况下，它更接近 P(T|Fair)=.5 而不是 P(T|Fake)=.75