algorithm - 变半径高斯模糊，逼近核

Question

我正在编写具有可变半径(标准偏差)的高斯模糊，即图像的每个像素都使用不同的内核进行卷积。计算高斯模糊的标准技术在这里不起作用:FFT、轴分离、重复框模糊——它们都假定内核对于整个图像是相同的。

现在，我尝试使用以下方案对其进行近似:

使用由一组 N 个轴对齐矩形 R_k 和系数 α_{k 定义的分段常数函数 f(x,y) 逼近高斯核 K(x,y)} 作为:

f(x,y) = ∑_k=1^N α_k·χ_{Rk (x,y)}

设g(x,y)为我们的图像，则

∬_ℝ² K(x,y)·g(x,y) dxdy ≈∬_ℝ² f(x,y)·g(x,y) dxdy = ∑_k=1^N α_k·∬_Rkg(x,y) dxdy

RHS 上的积分是矩形上的简单积分，因此可以通过预先计算整个图像的部分和在恒定时间内计算。

生成的算法在 O(W·H·N) 中运行，其中 W 和 H 是图像的维度，N 是(据我所知)与近似误差成反比的。

剩下的部分就是找到一个好的逼近函数f(x,y)。 如何在给定矩形数 N(最小化误差)或给定误差(最小化矩形数)时找到高斯分布的最优近似值？

Answer 1

给定矩形的位置和大小，计算出系数应该相当容易，所以真正的问题是计算出放置矩形的位置。

由于您正在逼近高斯分布，将我们的注意力限制在中心与高斯分布中心重合的矩形上似乎至少是合理的，因此我们实际上只有一个一维问题 - 计算嵌套集的大小如果纵横比不是统一的，我认为这些矩形要么是正方形，要么类似于高斯。

这可以通过动态规划来解决。假设你从外面工作到中间。在第 N 阶段，您已经计算出一个 n x k 表，它为您提供了来自 1,2...N 个外部像素环的最佳近似误差，最多 1,2,..k 个不同的矩形，以及最里面的矩形的大小对那个最好的错误负责。为计算第 N+1 阶段，您需要考虑到目前为止最内层矩形的所有可能尺寸，为外部区域贡献 x 像素环。您计算出该矩形的 alpha，它最适合新环中的像素和它外面的环，而不是留给外部矩形。使用已经计算出的表中的值，您知道当您留下最多 k 个外部矩形来覆盖这些区域时，您将获得的最佳可能误差，因此您可以计算出现在 N+1 像素环所贡献的最佳总误差.这允许您为 N+1 个外部像素填写表格条目。当您进入该区域的中间时，您将能够为整个区域制定最佳解决方案。