algorithm - 关于红黑树的问题

Question

如果我有一棵二叉树，想给它的所有节点加上黑/红属性，形成一棵红黑树，如果我们知道二叉树是平衡的，有没有办法做到这一点？

Answer 1

可能对红黑树最严格的条件是任何根 NULL 路径都必须具有相同数量的黑色节点。因此，一种选择是从根开始运行 DFS 以确定最短根 NULL 路径的长度。该路径长度给出了树的“黑色高度”的上限，即任何根 NULL 路径上黑色节点的数量。

一旦我们有了这个值，我们就可以尝试以一种让我们确定哪些节点是红色或黑色的方式将黑色高度分配给节点。一个有用的观察结果如下:任何一个节点的子树的黑色高度必须相同，否则就会有两个具有不同黑色高度的根 NULL 路径。因此，对于每个节点，如果其当前黑高为h，期望的黑高为H，我们可以要么

• 将其着色为红色，在这种情况下，我们递归地为左右子树着色，使它们的高度为黑色 H。我们还强制下面这些子树的根为黑色。
• 将其着色为黑色，在这种情况下，我们递归地为左右子树着色，使它们的黑色高度为 H - 1。这些树根部的节点可以是任何一种颜色。

我认为您可以使用动态规划来做到这一点。假设期望的目标黑色高度为H，我们可以制作一个由节点/黑色深度/颜色三元组索引的表(这里，黑色高度是以该节点为根的子树的黑色高度)存储是否可以着色节点以正确的方式。我们称它为 T[v, h, c]。我们可以这样填写:

• 将 NULL 视为黑色节点。 T[null, 0, red] = false, T[null, 0, black] = true。
• 对于每个节点，按照以下顺序处理，使得只有在处理其子树 l 和 r 时才处理 v，执行以下操作:
  • T[v, h, red] = T[l, h, black] and T[r, h, black]
  • 对于任何颜色 c，T[v, h, black] = T[l, h - 1, c] 和 T[r, h - 1, c]

一旦你评估了这个，你就可以检查 T[root, h, c] 对于任何高度 h 或颜色 c 是否为真。这应该只需要多项式时间。

希望这对您有所帮助!