algorithm - 所有可能组合的最快解决方案，在 k>2 和 n 大的情况下从 n 个可能的元素中取出 k 个元素

Question

我正在使用 MATLAB 从 n 个可能的元素中找出 k 个元素的所有可能组合。我偶然发现了this question ，但不幸的是它并没有解决我的问题。当然，nchoosek 也没有。因为我的 n 大约是 100。

事实是，我不需要同时使用所有可能的组合。我会解释我需要什么，因为可能有更简单的方法来达到预期的结果。我有一个 100 行和 25 列的矩阵 M。

将 M 的子矩阵视为由 M 的所有列和仅行的子集组成的矩阵。我有一个函数 f，它可以应用于任何结果为 -1 或 1 的矩阵。例如，您可以将函数视为 sign(det(A)) 其中 A 是任何矩阵(确切的函数与这部分问题无关)。

我想知道 M 的最大行数是多少，由这些行形成的子矩阵 A 满足 f(A) = 1。请注意，如果 f(M) = 1，我就完成了。但是，如果不是这种情况，那么我需要开始组合行，从 99 行的所有组合开始，然后采用 98 行的组合，依此类推。

到目前为止，我的实现与 nchoosek 有关这在 M 只有几行时有效。然而，现在我正在处理一个相对更大的数据集，事情就卡住了。你们有没有想到一种无需使用上述功能即可实现此功能的方法？任何帮助将不胜感激。

这是我的最小工作示例，它适用于小的 obs_tot 但当我尝试使用更大的数字时失败了:

value = -1; obs_tot = 100; n_rows = 25;
mat = randi(obs_tot,n_rows);
while value == -1
    posibles = nchoosek(1:obs_tot,i);
    [num_tries,num_obs] = size(possibles);
    num_try = 1;
        while value == 0 && num_try <= num_tries
        check = mat(possibles(num_try,:),:);
        value = sign(det(check));
        num_try = num_try + 1;
        end
    i = i - 1;
end
obs_used = possibles(num_try-1,:)';

Answer 1

序言

正如您在问题中注意到的那样，最好不要 nchoosek 同时返回所有可能的组合，而不是一一枚举它们，以免在 n 时爆炸内存变大。所以像这样:

enumerator = CombinationEnumerator(k, n);
while(enumerator.MoveNext())
    currentCombination = enumerator.Current;
    ...
end

这是作为 Matlab 类的枚举器的实现。它基于经典 IEnumerator<T> C#/.NET 中的接口(interface)并模仿子函数 combs在 nchoosek (展开方式):

%
% PURPOSE:
%
%   Enumerates all combinations of length 'k' in a set of length 'n'.
%
% USAGE:
%
%   enumerator = CombinaisonEnumerator(k, n);
%   while(enumerator.MoveNext())
%       currentCombination = enumerator.Current;
%       ...
%   end
%

%% ---
classdef CombinaisonEnumerator  < handle

    properties (Dependent) % NB: Matlab R2013b bug => Dependent must be declared before their get/set !
        Current; % Gets the current element.
    end

    methods
        function [enumerator] = CombinaisonEnumerator(k, n)
        % Creates a new combinations enumerator.

            if (~isscalar(n) || (n < 1) || (~isreal(n)) || (n ~= round(n))), error('`n` must be a scalar positive integer.'); end
            if (~isscalar(k) || (k < 0) || (~isreal(k)) || (k ~= round(k))), error('`k` must be a scalar positive or null integer.'); end
            if (k > n), error('`k` must be less or equal than `n`'); end

            enumerator.k = k;
            enumerator.n = n;
            enumerator.v = 1:n;            
            enumerator.Reset();

        end
        function [b] = MoveNext(enumerator)
        % Advances the enumerator to the next element of the collection.

            if (~enumerator.isOkNext), 
                b = false; return; 
            end

            if (enumerator.isInVoid)
                if (enumerator.k == enumerator.n),
                    enumerator.isInVoid = false;
                    enumerator.current = enumerator.v;
                elseif (enumerator.k == 1)
                    enumerator.isInVoid = false;
                    enumerator.index = 1;
                    enumerator.current = enumerator.v(enumerator.index);                    
                else
                    enumerator.isInVoid = false;
                    enumerator.index = 1;
                    enumerator.recursion = CombinaisonEnumerator(enumerator.k - 1, enumerator.n - enumerator.index);
                    enumerator.recursion.v = enumerator.v((enumerator.index + 1):end); % adapt v (todo: should use private constructor)
                    enumerator.recursion.MoveNext();
                    enumerator.current = [enumerator.v(enumerator.index) enumerator.recursion.Current]; 
                end
            else
                if (enumerator.k == enumerator.n),
                    enumerator.isInVoid = true;
                    enumerator.isOkNext = false;
                elseif (enumerator.k == 1)
                    enumerator.index = enumerator.index + 1;
                    if (enumerator.index <= enumerator.n)
                        enumerator.current = enumerator.v(enumerator.index);
                    else 
                        enumerator.isInVoid = true;
                        enumerator.isOkNext = false;
                    end                                       
                else
                    if (enumerator.recursion.MoveNext())
                        enumerator.current = [enumerator.v(enumerator.index) enumerator.recursion.Current];
                    else
                        enumerator.index = enumerator.index + 1;
                        if (enumerator.index <= (enumerator.n - enumerator.k + 1))
                            enumerator.recursion = CombinaisonEnumerator(enumerator.k - 1, enumerator.n - enumerator.index);
                            enumerator.recursion.v = enumerator.v((enumerator.index + 1):end); % adapt v (todo: should use private constructor)
                            enumerator.recursion.MoveNext();
                            enumerator.current = [enumerator.v(enumerator.index) enumerator.recursion.Current];
                        else 
                            enumerator.isInVoid = true;
                            enumerator.isOkNext = false;
                        end                                                               
                    end
                end
            end

            b = enumerator.isOkNext;

        end
        function [] = Reset(enumerator)
        % Sets the enumerator to its initial position, which is before the first element.

            enumerator.isInVoid = true;
            enumerator.isOkNext = (enumerator.k > 0);

        end
        function [c] = get.Current(enumerator)
            if (enumerator.isInVoid), error('Enumerator is positioned (before/after) the (first/last) element.'); end
            c = enumerator.current;
        end
    end

    properties (GetAccess=private, SetAccess=private)
        k = [];
        n = [];
        v = [];
        index = [];
        recursion = [];
        current = [];
        isOkNext = false;
        isInVoid = true;
    end

end

我们可以像这样从命令窗口测试实现是否正常:

>> e = CombinaisonEnumerator(3, 6);
>> while(e.MoveNext()), fprintf(1, '%s\n', num2str(e.Current)); end

按预期返回以下 n!/(k!*(n-k)!)组合:

1  2  3
1  2  4
1  2  5
1  2  6
1  3  4
1  3  5
1  3  6
1  4  5
1  4  6
1  5  6
2  3  4
2  3  5
2  3  6
2  4  5
2  4  6
2  5  6
3  4  5
3  4  6
3  5  6
4  5  6

这个枚举器的实现可以进一步优化速度，或者通过以更适合您的情况的顺序枚举组合(例如，首先测试一些组合而不是其他组合)......好吧，至少它有效! :)

问题解决

现在解决你的问题真的很简单:

n = 100;
m = 25;
matrix = rand(n, m);

k = n;
cont = true;
while(cont && (k >= 1))

    e = CombinationEnumerator(k, n);
    while(cont && e.MoveNext());

       cont = f(matrix(e.Current(:), :)) ~= 1;

    end

    if (cont), k = k - 1; end 

end