algorithm - 给定 N，找到最大的 *奇数/偶数 * 加起来得到 N

Question

我想问一个基于这个问题的后续问题: Given n, find the maximum numbers added to get n

如果我只能用奇数求和N怎么办，有什么公式可以概括吗？谢谢!

例如给定 7，ans 为 1，对于 7给定 16，ans 是 4，对于 1+3+5+7给定 13，ans 为 3，对于 1+5+7

Answer 1

我将提出解决您问题的代码，然后尝试证明/捍卫它。

  public static int maxOddSumToInt(final int n) throws IllegalArgumentException {
    if(n < 0) throw new IllegalArgumentException("n must be positive");

    LinkedList<Integer> currentNums = new LinkedList<>();
    currentNums.add(1);
    int sum = 1;
    int next = 3;
    while(sum < n) {
      currentNums.add(0, next);
      sum += next;
      next += 2;
    }
    while (sum > n) {
      int r = currentNums.remove(0);
      sum -= r;
      while(sum < n) {
        currentNums.set(0, currentNums.get(0) + 2);
        sum += 2;
      }
    }
    return currentNums.size();
  }

你的问题的关键是你只想要count 最独特的奇数总和到目标。因此，我们如何得出最大计数并不重要，重要的是我们确信我们拥有它。

使用最多数字的捷径是尽可能使用最小的数字。因此，例如，我们希望使用 1,3,5,7,9, ... 而不是 1,9,15。因此，第一步是尽可能多地按升序包含数字，直到我们达到或超过我们的目标。如果我们成功了，太好了!根据定义，这是要使用的最大数量的数字集，因为没有更小的数字可供使用。例如，对于输入“9”，算法将加 1、加 3、加 5，看到它命中 9 并返回大小 3。

如果我们超过目标，我们将删除最后一次添加，因为这显然使它不再可能。通过与上面类似的逻辑，这意味着我们在 (n) 处的任何大小的集合都将不起作用，因为我们之前有最小求和集，甚至它太大了。因此，我们尝试大小为 n-1 的集合。从这里开始，如何我们试图达到我们的目标并不重要，只是我们检查是否有任何一组大小 n-1 有效。因此，为简单起见，我们将最近添加的内容反复增加 2 以查看是否达到目标。这既确保我们不会重复数字(我们正在使最大的数字变大，因此它不可能成为重复的)并且如果我们再次超过目标并需要重复此步骤，我们可以进行一次移除，并且肯定会再次低于我们的目标。

总时间复杂度有点棘手。我想我可以声称它在最坏的情况下是 O(N^2)，其中 N 是目标的值。最坏的情况是该数字只能由其自身表示(大小为 1 的集合)，因此我们构建一个集合求和直到超过它 (O(N))，然后删除每个 while递增直到我们再次超过 (N*O(N))。基于数字的东西可能会有更严格的限制，但我并没有想到。

算法没有做的一件事是优雅地处理无效输入。如果你给它一个没有解决方案的数字，它将永远运行。如果您能为此找到一个简单的数字测试，您可以将它添加到顶部的非法参数异常中。