确定绕圆移动的两个点是否接近或分离的算法

Question

我正在寻找一种算法来确定以已知速度绕圆移动的两点 (p1, p2) 之间的距离是否从它们之间较小的圆弧的角度来看是增加还是减少。

• 我知道 p1 和 p2 的位置(以度数/弧度表示)。
• 我知道两个物体在统一尺度上的速度(piV、p2V)。
• 我知道 p1 和 p2 之间短弧的绝对值(以度/弧度表示)(始终为正值)。但是，如果它有帮助，我也可以知道短弧是负值还是正值，因为当 p2 在后面(右)时从 p1 的角度来看它是负的，如果 p2 在前面(左)则它是正的。<
• 当它们逆时针移动时速度为正，如果它们“逆行”(顺时针移动)则为负。

Answer 1

这道题真正的挑战在于处理180度的极坐标奇点，所以我会跳过这一步，用向量数学代替，效率稍低但更容易理解。希望其他更擅长模块化算法的人可以解决这个问题。

将角度位置转换为笛卡尔坐标:

(X, Y) = R * (cos θ, sin θ)

假设对象有笛卡尔坐标P1, P2 .引入二维叉积:

A ^ B = Ax By - Ay Bx

如果 A 相对于 Be 顺时针旋转，则为正，反之亦然。

假设物体有角速度W1, W2 ，其中正号表示按照极坐标的常规逆时针方向行进。

当对象 2 顺时针旋转 w.r.t.对象 1( P1 ^ P2 < 0 ，如您的图表所示):

• 如果W1, W2 > 0和 W2 > W1
• 或者，如果W1, W2 < 0和 -W1 > -W2
• 或者如果W1 < 0和 W2 > 0

... 物体正在相互移动；反之亦然，交换对象标签。将其编译成一个条件:

sign(W1 - W2) == sign(P1 ^ P2) != 0

顺便说一句，P1 ^ P2 = R^2 sin(θ2 - θ1)使用三角身份，所以只需检查 sin(θ2 - θ1) 的符号会工作。

编辑:事实证明，通过考虑正弦函数的行为，将条件减少到单个正弦项使模块化逻辑更加清晰 -

sign(P1 ^ P2) = sign(180 - [θ2 - θ1] % 360)