algorithm - 如何获得 4D 网格的 3D 横截面？

Question

我有一个 polychoron表示为四维网格，用面顶点法存储。所有的面都是三角形。如何得到图形的三维截面？

我找到的最接近的是 this question , 但它是一维短。

Answer 1

处理 4 个维度有点困难。

解决问题的唯一方法是寻找维度类比。

让我们从二维开始

凸 2D 多边形具有凸 1D 边:线段。

填充凸多边形的横截面是一条线段。

计算多边形边与相交线的交点，你会得到一个凸多边形的两个交点，横截面将是一条线段。

要做到这一点很容易变换坐标，所以你在坐标系的 Y 轴上做横截面。边缘的两个点是A和B，它们的坐标是a1、a2和b1、b2。

如果 a1 和 b1 的符号相同，(又名 a1*b1 > 0)边将不会与 Y 轴相交。

否则计算k = a1/(a1-b1)。

那么交点的坐标就是:(0; (1-k)*a2+k*b2)

正如我所说，对于凸多边形，您将获得两个交点，连接这两个点以获得一维横截面。

现在让我们推广到 3D

凸 3D 网格具有凸 2D 边:三角形。

再次变换坐标，让操作更简单。让我们在 Y-Z 平面上获取网格的横截面，因此 X 坐标将再次为零。

获取三角形的横截面。对它们的每条边使用上面的算法。由于我们有 3 个维度，因此边的端点将具有坐标 a1、a2、a3 和 b1、b2、b3。如果 a1*b1<0 我们有一个交点。所以

令 k = a1/(a1 - b1)

交点坐标为(0; (1-k)*a2+k*b2; (1-k)*a3+k*b3)。存储这个坐标，还要存储网格的A点和B点的索引(边索引)。以后会有用的。

对于每个三角形，这将产生一条线段。

现在您需要将这些横截面线段连接到多边形。这就是我们将边索引与交点一起存储的原因。你有一组线，你可以通过存储的边索引匹配它们的端点，这样你就可以将它们连接成一个多边形。

现在让我们推广到 4D

凸 4D 网格具有凸 3D“边”:四面体。 (请注意，您的面部顶点表示可能不正确)

再次变换坐标，让操作更简单。让我们在 Y-Z-W 超平面上获取网格的横截面，因此 X 坐标将再次为零。

获取四面体的横截面。对他们的每张脸使用上面的算法。由于我们有 4 个维度，因此边的端点将具有坐标 a1、a2、a3、a4 和 b1、b2、b3、b4。如果 a1*b1<0 我们有一个交点。所以

令 k = a1/(a1 - b1)

交点坐标为(0; (1-k)*a2+k*b2; (1-k)*a3+k*b3; (1-k)*a4+k*b4)。

对于四面体的每个三角形，这将产生一条线段。对于每个四面体，这将产生一个三角形。对于这些三角形的每条边，还存储线段起源的 3D 网格三角形的 A、B 和 C 点的索引(面索引)。以后会有用的。

现在您需要将这些横截面三角形连接到 3D 网格。这就是我们将面索引与相交边缘一起存储的原因。你有一组三角形，你可以通过存储的面索引匹配它们的边，这样你就可以将它们连接成一个三角形网格。

对于凹面 4D 网格，您可能会得到多个 3D 网格。

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希望您能看到这个类比。

具体实现会有点困难，您需要处理所有极端情况(除以零的情况、浮点错误等)。