python - 在 KenKen 谜题 'multiply' 域中找到所有可能的因素

Question

KenKen 拼图是一个分为边连接域的拉丁方 block :单个单元格、同一行或列中的两个相邻单元格、三个单元格排列成一行或一个单元格等。每个域都有一个标签，它给出一个目标数和一个算术运算 (+-*/)，该运算将应用于域单元格中的数字以产生目标数. (如果域只有一个单元格，则没有给出运算符，只是一个目标 --- 方 block 已为您解决。如果运算符是 - 或/，则域中只有两个单元格。)难题是(重新)构建与域的边界和标签一致的拉丁方。 (我想我只见过一次非唯一解的谜题。)

单元格中的数字可以从 1 到拼图的宽度(高度)；通常，拼图的一侧有 4 或 6 个单元格，但考虑任何大小的拼图。已发布的谜题(4x4 或 6x6)中的域通常不超过 5 个单元格，但同样，这似乎不是硬性限制。 (但是，如果难题只有一个域，那么解决方案的数量将与该维度的拉丁方一样多......)

编写 KenKen 求解器的第一步是拥有可以在任何域中生成可能的数字组合的例程，首先忽略域的几何形状。 (一个线性域，就像一行三个单元格，在解决的难题中不能有重复的数字，但我们暂时忽略这一点。)我已经能够编写一个 Python 函数来逐个处理添加标签:给它拼图的宽度、域中的单元格数和目标总和，它返回一个有效数字元组列表，这些元组加起来等于目标。

我不明白乘法的大小写。我可以获得一个字典，其键等于给定大小的拼图中给定大小的域中可获得的产品，值是包含给出产品的因素的元组列表，但我无法解决问题-逐个例程，甚至不是坏例程。

将给定的乘积分解为素数似乎很容易，但是将素数列表划分为所需数量的因子却让我很困惑。 (我已经沉思了 Knuth 的 TAOCP 第 4 卷的第 3 分册，但我还没有学会如何“理解”他的算法描述，所以我不知道他的集合划分算法是否是一个起点。理解 Knuth 的描述可能是另一个问题!)

我很乐意预先计算公共(public)域和拼图大小的“乘法”字典，并将加载时间计入开销，但这种方法似乎不是处理 100 个单元格拼图的有效方法边和大小从 2 到 50 个单元格的区域。

Answer 1

简化目标:你需要枚举所有相乘形成某个乘积的整数组合，其中整数的个数是固定的。

要解决此问题，您只需对目标数字进行质因数分解，然后使用组合方法从这些因数中形成所有可能的子积。 (一旦你拥有所有可能的子产品，还有一些其他的难题约束很容易包含，比如没有条目可以大于 max_entry，并且你有固定数量的整数来使用，n_boxes_in_domain。)

例如，如果 max_entry=6，n_boxes_in_domain=3，并且 target_number=20:20 产生 (2, 2, 5 );转到 (2, 2, 5) 和 (1, 4, 5)。

这样做的诀窍是形成所有可能的子产品，下面的代码就是这样做的。它的工作原理是遍历形成所有可能的单对的因子，然后递归地执行此操作，以给出所有单对或多对的所有可能集合。 (这是低效的，但即使是大数也有一个小的质因数分解):

def xgroup(items):
    L = len(items)
    for i in range(L-1):
        for j in range(1, L):
            temp = list(items)
            a = temp.pop(j)
            b = temp.pop(i)
            temp.insert(0, a*b)
            yield temp
            for x in xgroup(temp):
                yield x

def product_combos(max_entry, n_boxes, items):
    r = set()
    if len(items)<=n_boxes:
        r.add(tuple(items))
    for i in xgroup(items):
        x = i[:]
        x.sort()
        if x[-1]<=max_entry and len(x)<=n_boxes:
            r.add(tuple(x))
    r = [list(i) for i in r]
    r.sort()
    for i in r:
        while len(i)<n_boxes:
            i.insert(0, 1)
    return r

我会留给你来生成主要因素，但这似乎适用于

max_entry=6, n_boxes=3, items=(2,2,5)
[2, 2, 5]
[1, 4, 5]

对于更困难的情况，比如 target_number=2106

max_entry=50, n_boxes=6, items=(2,3,3,3,3,13)
[2, 3, 3, 3, 3, 13]
[1, 2, 3, 3, 3, 39]
[1, 2, 3, 3, 9, 13]
[1, 1, 2, 3, 9, 39]
[1, 1, 2, 3, 13, 27]
[1, 1, 2, 9, 9, 13]
[1, 1, 1, 2, 27, 39]
[1, 3, 3, 3, 3, 26]
[1, 3, 3, 3, 6, 13]
[1, 1, 3, 3, 6, 39]
[1, 1, 3, 3, 9, 26]
[1, 1, 3, 3, 13, 18]
[1, 1, 3, 6, 9, 13]
[1, 1, 1, 3, 18, 39]
[1, 1, 1, 3, 26, 27]
[1, 1, 1, 6, 9, 39]
[1, 1, 1, 6, 13, 27]
[1, 1, 1, 9, 9, 26]
[1, 1, 1, 9, 13, 18]