c - 优化数组求和(子集问题)

Question

在我程序 HitTest 的部分(根据 gprof 的 90% 时间)，我需要将一个数组 A 加到另一个数组 B 中。两个数组的大小都是 2^n(n 是 18..24)并保存一个整数(为简单起见，实际上存储的元素是 mpz_t 或 small int 数组)。求和规则:对0..2^n-1中的每个i，设B[i] = sum (A[j])，其中j为bit vector ，并且 j & ~ i == 0(换句话说，如果 j 的第 k 位 i 不是 1)。

我当前的代码(这是最内层循环的主体)在 2^(1.5 * n) 个总和的时间内执行此操作，因为我将在(平均)2^(n/2) 个元素上迭代每个 i A.

  int A[1<<n]; // have some data
  int B[1<<n]; // empty
  for (int i = 0; i < (1<<n); i++ ) {
    /* Iterate over subsets */
    for (int j = i; ; j=(j-1) & i ) {
      B[i] += A[j];  /* it is an `sum`, actually it can be a mpz_add here */
      if(j==0) break;
    }
  }

我提到过，几乎所有的总和都是根据之前求和的值重新计算的。我建议，可以有代码，在 n* 2^n 总和的时间内完成同样的任务。

我的第一个想法是 B[i] = B[i_without_the_most_significant_bit] + A[j_new];其中 j_new 只是 j 在“1”状态下具有来自 i 的 most_significant 位。这将我的时间减半，但这还不够(实际问题规模仍然需要数小时和数天):

  int A[1<<n];
  int B[1<<n];
  B[0] = A[0]; // the i==0 will not work with my idea and clz()
  for (int i = 1; i < (1<<n); i++ ) {
    int msb_of_i = 1<< ((sizeof(int)*8)-__builtin_clz(i)-1);
    int i_wo_msb = i & ~ msb;
    B[i] = B[i_wo_msb];
    /* Iterate over subsets */
    for (int j_new = i; ; j_new=(j_new-1) & i ) {
      B[i] += A[j_new];  
      if(j_new==msb) break; // stop, when we will try to unset msb
    }
  }

你能推荐更好的算法吗？

额外的图像，i 和 j 的列表，对于 n = 4 的每个 i 求和:

i  j`s summed
0  0
1  0 1
2  0 2
3  0 1 2 3
4  0 4
5  0 1 4 5
6  0 2 4 6
7  0 1 2 3 4 5 6 7
8  0                8
9  0 1              8 9
a  0 2              8 a
b  0 1 2 3          8 9 a b
c  0 4              8 c
d  0 1 4 5          8 9 c d
e  0 2 4 6          8 a c e
f  0 1 2 3 4 5 6 7  8 9 a b c d e f

注意图形的相似度

PS msb 魔法来自这里:Unset the most significant bit in a word (int32) [C]

Answer 1

分而治之？现在不在原地。

void sums(int *a, int n, int *b) {
  if (n <= 0) {
    *b = *a;
    return;
  }
  int m = 1 << (n - 1);
  sums(a, n - 1, b);
  sums(a + m, n - 1, b + m);
  for (int i = 0; i < m; i++) {
    b[m + i] += b[i];
  }
}