algorithm - 最小化测量误差时姿态估计的不确定性

Question

假设我想估计给定图像 I 的相机姿态，并且我有一组测量值(例如 2D 点 u_i 及其关联的 3D 坐标 P _i)，我想将其误差最小化(例如重投影误差平方和)。

我的问题是:如何计算最终姿态估计的不确定性？

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为了让我的问题更具体，考虑一张图像I，我从中提取了 2D 点 u_i 并将它们与 3D 点 P_i 匹配>。表示 T_w 是我将要估计的该图像的相机姿势，pi_T 表示将 3D 点映射到其投影的 2D 点的变换。这是一个小图来澄清事情:

我的目标陈述如下:

有几种技术可以解决相应的非线性最小二乘问题，考虑我使用以下(高斯-牛顿算法的近似伪代码):

我在几个地方读到 J_r^T.J_r 可以被认为是姿态估计的协方差矩阵的估计。 以下是更准确问题的列表:

1. 谁能解释为什么会出现这种情况和/或知道详细解释这种情况的科学文件？
2. 我应该在最后一次迭代中使用 J_r 的值还是应该使用连续的 J_r^T.J_r 以某种方式组合？
3. 有人说这实际上是对不确定性的乐观估计，那么估计不确定性的更好方法是什么？

非常感谢，任何对此的见解都将不胜感激。

Answer 1

完整的数学论证相当复杂，但简而言之，它是这样的:

1. 重投影误差的雅可比矩阵在最佳时间的外积 (Jt * J) 本身是最小二乘误差的 Hessian 矩阵的近似值。该近似值忽略了最优误差函数的泰勒展开中的三阶和更高阶项。参见 here (第 800-801 页)进行证明。
2. Hessian 矩阵的逆矩阵是参数最优值邻域中重投影误差协方差矩阵的近似值，在参数到误差变换的局部线性近似下(第 814 页，引用文献上方)。

我不知道“乐观”的评论从何而来。近似值的主要假设是成本函数(重投影误差)在最优值的一个小邻域内的行为近似为二次。