algorithm - 该算法的预期抛硬币次数是多少？

Question

假设我有一枚有偏见的硬币。翻转时，正面朝上的概率为 4/5。

为了伪造一个公平的折腾，我采用了以下模拟这种情况的算法。假设 True 代表头部，False 代表尾部。

P(doUnfairFlip() = 0) = 0.8
和
P(doUnfairFlip() = 1) = 0.2

def fakeFairToss():
    flip1 = 0
    flip2 = 0
    while (flip1 == flip2):
        flip1 = doUnfairFlip()
        flip2 = doUnfairFlip()
    return (True if (flip1 == 0) else False)

它利用了这样一个事实，即在抛两次硬币后出现正面与反面或反面与正面的可能性相同。

每次运行此函数时，我应该期望这个有偏差的硬币抛多少次？

Answer 1

假设来自 doUnfairFlip() 的样本是 IID，相等的几率是 1/5^2 + 4/5^2 = 17/25 = 68%。

与其考虑每次函数调用的循环迭代，我们可以将这种情况视为无限的迭代序列，偶尔会被函数返回“打断”。请注意，函数返回恰好在相等失败时发生，100 - 68 = 32% 的时间。

我们现在可以将情况识别为离散的 Poisson process ，其中 lambda = 0.32。相应分布的平均值也是 lambda:我们可以预期每次循环迭代大约 0.32 次函数调用，或者每次调用 1.0/0.32 = 3.125 次迭代，或每次调用 6.25 调用 doUnfairFlip()。