algorithm - 两个具有纬度/经度坐标的运动物体的交点

Question

尽管我已经阅读了几篇文章，但直到现在我才能真正解决这个问题-希望有人可以在这里提供帮助。

事实(知道变量):

地球表面上的两个移动物体，都具有当前已知的纬度/经度坐标。

两个物体的速度也是已知的(以 m/s 为单位)。

一个物体的方向(角度)是已知的。

现在我想计算与另一个移动物体相交(撞击)所需的第二个移动物体的方向(角度)。

由于物体之间的距离很小(仅在 5-20 公里范围内)，并且不需要非常高的精度，因此可以将地球表面视为平面。

因此，我已经尝试过使用这个很棒的库:
http://www.codeproject.com/Articles/990452/Interception-of-Two-Moving-Objects-in-D-Space

但我并没有真正做到这一点，因为我不知道如何将 m/s 的速度来回转换为纬度/经度速度矢量。

为了更好地理解问题，这里有一个带有值的示例:

移动物体 1(运行者):

当前位置:纬度:38.565，经度:-98.513

速度:100 m/s

方向:270°

移动物体 2(追逐者):

当前位置:纬度:38.724，经度:-98.449

速度:150 m/s

方向:待计算

对此的任何帮助将不胜感激，在此先感谢!

Answer 1

如果距离很小，并且您按照建议将纬度/经度坐标转换为平面上的 x,y 坐标，例如使用this question的答案，那么解决这个问题所需的数学就很简单了。

下图显示了追逐者和目标在时间 0 的位置(红点和蓝点)、它们的速度(圆圈表示它们在时间 1、2、3...之后的范围)和目标的轨迹(蓝光)。

绿色曲线包含目标和追逐者在以当前速度继续​​移动时可能同时出现的所有位置。这条曲线与目标轨迹的交点就是拦截点(粉红色的点)。



如果拦截发生在时间 t 之后，那么追逐者和目标经过的距离是 t.vc 和 t.vt。我们还知道0时刻追逐者与目标的距离d，以及追逐者与目标的连线段与目标轨迹的夹角α。如果我们将这些输入到 cosine rule我们得到:

(t . v_c)² = (t . v_t)² + d² - 2 . d . t . v_t . cos(α)

转换为 quadratic equation当我们求解时间 t 时:

(v_c² - v_t²) . t² + (2 . d . v_t . cos(α)) . t - d² = 0

如果我们使用 quadratic formula 解决这个问题:

t = (- b ± √(b² - 4 . a . c)) / (2 . a)
where:
a = v_c² - v_t²
b = 2 . d . v_t . cos(α)
c = - d²

非负 discriminant表示可以截取，二次公式中加法得到的根是第一次或唯一一次截取。



如上图所示，如果追逐者比目标慢，如果目标向追逐者移动(蓝光与绿色曲线相交)，则可能有两个拦截点，但如果目标远离追逐者，则没有.在二次公式中使用加法给出第一个截点(使用减法将给出第二个)。

然后我们可以计算出目标在时间 t 后的位置，也就是拦截点，以及追逐者到该点的方向。

下面的 JavaScript 代码片段演示了此方法，其中包含两个图像中的值。它使用弧度和方向的角度:0 = 右，π/2 = 上，π = 左，-π/2 = 下。使用 isosceles triangle theorem 解决追逐者和目标具有相等速度(并且曲线是直线)的情况。 , 因为否则它会导致在二次方程中被零除。

function intercept(chaser, target) {
    var dist = distance(chaser, target);
    var dir = direction(chaser, target);
    var alpha = Math.PI + dir - target.dir;
    // EQUAL VELOCITY CASE: SOLVE BY ISOSCELES TRIANGLE THEOREM
    if (chaser.vel == target.vel) {
        if (Math.cos(alpha) < 0) return NaN;    // INTERCEPTION IMPOSSIBLE
        return (dir + alpha) % (Math.PI * 2);
    }
    // GENERAL CASE: SOLVE BY COSINE RULE AND QUADRATIC EQUATION
    var a = Math.pow(chaser.vel, 2) - Math.pow(target.vel, 2);
    var b = 2 * dist * target.vel * Math.cos(alpha);
    var c = -Math.pow(dist, 2);
    var disc = Math.pow(b, 2) - 4 * a * c;
    if (disc < 0) return NaN;                   // INTERCEPTION IMPOSSIBLE
    var time = (Math.sqrt(disc) - b) / (2 * a);
    var x = target.x + target.vel * time * Math.cos(target.dir);
    var y = target.y + target.vel * time * Math.sin(target.dir);
    return direction(chaser, {x: x, y: y});

    function distance(p, q) {
        return Math.sqrt(Math.pow(p.x - q.x, 2) + Math.pow(p.y - q.y, 2));
    }
    function direction(p, q) {
        return Math.atan2(q.y - p.y, q.x - p.x);
    }
}
var chaser = {x: 196, y: -45, vel: 100};
var target = {x: 139, y: -312, vel: 75, dir: 0.1815142422};
document.write(intercept(chaser, target) + "<br>"); // -1.015 rad = -58.17°
var chaser = {x: 369, y: -235, vel: 37.5};
var target = {x: 139, y: -376, vel: 75, dir: 0.1815142422};
document.write(intercept(chaser, target) + "<br>"); // -1.787 rad = -102.4°

其他拦截点

绿色曲线有效地将 2D 平面划分为目标首先到达的区域和追逐者首先到达的区域。如果您希望追逐者和目标以恒定速度移动并发生碰撞(想象一下，例如向移动的船只发射鱼雷)，那么您将瞄准曲线上的一个点，两者将同时到达，如上面解释过。

然而，如果追逐者可以到达一个点并在那里等待目标到达(想象一个人试图赶公共(public)汽车)，那么目标轨迹上位于“追逐者区域”内的每个点都可能是拦截点.

在第一幅图像(较慢的目标)中，曲线是围绕目标的一个圆圈，一旦目标移出这个圆圈(在粉红色指示的拦截点的右侧)，追逐者总是可以先到达那里并等待目标。如果您想要一个安全边际以防追逐者或目标的速度不是恒定的，这可能很有用。

在第二张图像(更快的目标)中，曲线是围绕追逐者的一个圆圈，并且该圆圈内目标轨迹上的每个点都可能是拦截点。追逐者可以例如垂直于目标的轨迹移动，以最大限度地减少行进距离，或瞄准第一个和最后一个拦截点之间的中间点，以最大限度地延长等待时间。