algorithm - 为什么排序算法可以正常工作？

Question

我有一个排序算法。我知道它可以用许多其他更简单的方式编写，但这不是我的问题的重点。

这是算法:

sort(A : Array of N, i : N, j : N)
assert j-i+1 isTwoPotency
if A[i] > A[j] then swap A[i] and A[j]
if i+1 < j then
    k:= (j − i + 1)/4
    sort(A, i, j − 2k)
    sort(A, j − 2k + 1, j)
    sort(A, i + k, j − k)
    sort(A, i, j − 2k)
    sort(A, j − 2k + 1, j)
    sort(A, i + k, j − k)

我的问题是，为什么算法在以下情况下可以正常工作？

sort(A, 1, length(A))

数组将是:

A[1 . . . length(A)]

length(A) 是二元数，我们可以假设数组中没有相同的数字。我已经对其进行了测试，没有出现任何错误，因此我认为它可以正常工作。但是我如何证明该算法在这些条件下始终正确运行？

而且我想知道该算法需要多长时间作为运行时间。如果你能给我运行时间作为大 theta 符号(这是我最了解的那个)，那就太好了

f(n) = Θ(g(n))

Answer 1

正确性

将数组分成四个部分，A1 到 A4，并考虑每个元素最终应该位于的子数组。

• 在前两次递归调用之后，所有属于 A1 的元素都位于 A1 或 A3 中。同样，所有 A4 元素都位于 A2 或 A4 中。

• 第三次递归调用后，所有A1元素都在A1或A2中，所有A4元素都在A3或A4中。

• 在接下来的两次递归调用之后，所有 A1 元素按排序顺序位于 A1 中，所有 A4 元素按排序顺序位于 A4 中。这会将所有 A2 和 A3 元素留在 A2 或 A3 中。

• 在最后一次递归调用之后，所有 A2 和 A3 元素都按排序顺序位于正确的子数组中。这样数组就排序好了。

插图:

运行时

请注意，当我们对长度为n 的数组执行算法时，我们必须对长度为n/2 的数组执行六次该算法。这会产生以下重复:

• T(1) = O(1)。
• T(n) = 6 T(n/2) + O(1)。

解决递归我们得到 T(n) = O(6^log2(n)) = O(n^log2(6)) ≈ O(n^2.585)