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我想找到方程 a^3 + b^3 = c^3 + d^3
的所有正整数解,其中 a, b, c, d
是 1 到 1000
蛮力解决方案继续为每个 (a,b) 对计算所有 (c, d) 对。我想改进这个算法。我只想创建一次 (c,d) 对列表。然后,当我们有一对 (a,b) 时,在 (c,d) 列表中找到匹配项。我们可以通过将每个 (c,d) 对插入从总和映射到该对(或者更确切地说,具有该总和的对列表)的哈希表来快速定位匹配项
n= 1000
for c from 1 to n
for d from 1 to n
result = c^3 + d^3
append (c,d) to list at value map[result]
for a from 1 to n
for b from 1 to n
result = a^3 + b^3
list = map.get(result)
foreach pair in list
print a,b, pair
我说我们有 O(n^2) 解吗?为什么?我们如何改进它?什么是 C# 实现?
另外,也许一旦我们有了所有 (c,d) 对的映射,我们就可以直接使用它。我们不需要生成 (a,b) 对。每个 (a,b) 都已经在 map 中。如何实现这个想法?
最佳答案
您可以分组所有可能的总和并打印出包含多个项目的组。这是 O(N**2)
算法:
// key is sum and value is a list of representations
Dictionary<int, List<Tuple<int, int>>> solutions =
new Dictionary<int, List<Tuple<int, int>>>();
for (int a = 1; a <= 1000; ++a)
for (int b = a; b <= 1000; ++b) {
int sum = a * a * a + b * b * b;
List<Tuple<int, int>> list = null;
if (!solutions.TryGetValue(sum, out list)) {
list = new List<Tuple<int, int>>();
solutions.Add(sum, list);
}
list.Add(new Tuple<int, int>(a, b));
}
String report = String.Join(Environment.NewLine,
solutions.Values
.Where(list => list.Count > 1) // more than one item
.Select(list => String.Join(", ",
list.Select(item => String.Format("({0}, {1})", item.Item1, item.Item2)))));
Console.Write(report);
输出(1585行)是
(1, 12), (9, 10)
(1, 103), (64, 94)
(1, 150), (73, 144)
(1, 249), (135, 235)
(1, 495), (334, 438)
...
(11, 493), (90, 492), (346, 428) // <- notice three representations of the same sum
...
(663, 858), (719, 820)
(669, 978), (821, 880)
(692, 942), (720, 926)
(718, 920), (816, 846)
(792, 901), (829, 870)
所以我们有
1**3 + 12**3 == 9**3 + 10**3
...
11**3 + 493**3 == 90**3 + 492**3 == 346**3 + 428**3
...
792**3 + 901**3 == 829**3 + 870**3
有趣的是,我们有 8 三重 表示:
(11, 493), (90, 492), (346, 428)
(15, 930), (198, 927), (295, 920)
(22, 986), (180, 984), (692, 856)
(70, 560), (198, 552), (315, 525)
(111, 522), (359, 460), (408, 423)
(167, 436), (228, 423), (255, 414)
(300, 670), (339, 661), (510, 580)
(334, 872), (456, 846), (510, 828)
关于c# - 如何找到三次方程的所有正整数解?,我们在Stack Overflow上找到一个类似的问题: https://stackoverflow.com/questions/37863062/
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