algorithm - Fuss-Catalan 数字的 Julia 内存代码

Question

来自 Fuss-Catalan 系列 C{4}_n(参见整数序列在线百科全书 OEIS A002293)，我想使用内存计算第 n 项。我在下面编写的代码有效，但在我的笔记本电脑上当 n=200 时大约需要 43 秒。有没有办法进一步加快速度？

numterms = 20
C4 = Array{BigInt}(numterms+1) # memoization dictionary
fill!(C4,-1) # -1 implies not yet computed
C4[1] = 1 # Base case for n=0, C[n+1] provides nth term

function catalan4(n,C)
    C[n+1] == -1 || return C[n+1]
    sum1 = convert(BigInt,0)
    for i in 1:n
       sum2 = convert(BigInt,0)
       for j in 1:(n-i+1)
            sum3 = convert(BigInt,0)
            for k in 1:(n-i-j+2)
                sum3+= catalan4(k-1,C)*catalan4(n-i-j-k+2,C)
            end
            sum2 +=  catalan4(j-1,C)*sum3          
       end
       sum1 +=  catalan4(i-1,C)*sum2 
    end
    C[n+1] = sum1    
    return sum1
end 

for i in 1:numterms
    println(i,"\t",catalan4(i,C4))
end    

这按预期提供:

1   1
2   4
3   22
4   140
5   969
6   7084
7   53820
8   420732
9   3362260
10  27343888
11  225568798
12  1882933364
13  15875338990
14  134993766600
15  1156393243320
16  9969937491420
17  86445222719724
18  753310723010608
19  6594154339031800
20  57956002331347120

谢谢!

Answer 1

我怀疑糟糕的 BigInt 性能是罪魁祸首。您可能想尝试 Nemo ，它使用 Flint library对于任意精度整数，据我所知效率要高得多。如果你想留在标准的 Julia 中(Nemo 是基于 Julia 的，但在某些语言语义上与 Julia 不同，afaik - 它是一个计算机代数系统)并且你的数字被限制为小于 2^127，那么你可以尝试使用Int128 相反——这些可以堆栈分配并保存在寄存器中，不像 BigInts，它必须是堆分配的，而 LLVM 不知道如何推理(它无法将新 BigInts 的创建转换为现有的变异)。创建自定义 Int256 和 Int512 类型并使用两个/四个 Int128 值来进行运算可能并不难，特别是如果您只需要支持加法和乘法。