algorithm - 调度，贪心算法

Question

这是流行的 El Goog 问题的变体。

---

考虑以下调度问题:有 n 个作业，i = 1..n。有 1 台 super 计算机和无限的 PC。每个作业都需要先经过 super 计算机的预处理，然后再在PC上进行处理。 super 计算机上作业 i 所需的时间为 si，i = 1..n。对于 PC，它是 pi，i = 1..n。 PC 可以并行工作，但 super 计算机一次只能处理一项工作。创建一个计划 S， super 计算机将根据该计划处理作业。调度 S 中的完成时间 Ti(S) 由作业在 PC 上完成的时钟时间给出。我们想要找到一个最小化 Maxi[Ti(s)] 的时间表(理解为:我们需要找到一个最小化最高完成时间的时间表)。提出了以下贪心算法: 将作业按处理时间递减的顺序排列在 PC 上。该算法的复杂度为 O(nlogn)。要么证明该算法产生最优解，要么提供反例证明它不能。

---

我的解决方案(不确定这是否正确):我认为我们如何排序作业并不重要。最高完成时间仍然相同。考虑以下作业列表在 PC 上的处理时间示例:<5, 7, 17, 8, 10>。这将产生完成时间 <5, 12, 29, 37, 47>。根据算法，我们将列表排序为 <17、10、8、7、5>，并将产生 <17、27、35、42、47> 的完成时间。因此，虽然从技术上讲，贪心算法确实给出了最佳排序，但它需要 nlogn 时间才能做到这一点，而简单地遍历作业列表会得到相同的结果。

如果有人认为贪心算法会更好或者我的方法有缺陷，我会很感激你的想法。谢谢!

---

更新:我想我可能有答案了。 super 计算机花费的时间无关紧要。这里的关键是 PC 以并行方式运行。从 pi = <5, 7, 17, 8, 10> 的初始示例，让我们添加 si = <8, 5, 1, 12, 9>。现在，在默认的未排序顺序中，我们的处理时间为 <13, 20, (8 + 5 + 1 + 17 = )31, 34, 45>。所以45是完成时间。假设 pi 递减的排序顺序。输出为:<18、20、30、34、40>。 [排序输入:pi = <17, 10, 8, 7, 5>, si = <1, 9, 12, 5, 8>]。

下面是一个可能会清楚整个事情的例子:si = <17, 10>, pi = <10, 17>。未排序情况下的输出(也恰好按 si 的降序排序)将是 <27, 44>。根据pi排序，输入为:si = <10, 17>, pi = <17, 10>。输出为 <27, 37>。由于 PC 并行运行，因此您希望最后发送最短的作业。

Answer 1

对于有限数量的 PC:

w.l.o.g 假设没有 super 计算机，你的问题会转化为Minmum Makespan Scheduling问题(或 ppt )，这是 NP-Hard。所以你当前的算法不工作或者 P = NP。

但是贪心算法对近似很有用，你也可以转换Bin Packing对于这个问题，通过固定的误差量进行近似，可以找到很好的结果，但运行时将不是好的多项式(例如像 n^10)。

P.S:您可以简单地假设没有 super 计算机，为此假设实例 Max(s_i) < Min(P_i).

P.S2:一开始没看到无限PC，所以写了这个，我再想想无限PC。

不限大小写:

你当前的算法是错误的，假设这个条件:

For PCs: <5, 7, 17, 8, 10>
For super computer: <1000,800,500,600,700).

您当前的解决方案将失败。