algorithm - 矩阵正定和病态的迭代线性求解器

Question

我需要一些帮助来解决这个问题。

我想解决Ax = b,

其中 A 是 n x n(方阵)，b 是 n x 1 矩阵。

但是 A 矩阵有这个属性:+ 病态 (K >> 1)(可能大于 10 ^ 8)+ 对称正定(因为是协方差矩阵)

我已经尝试过 Jacobi 方法，但不幸的是收敛速度很慢。我避免使用 Cholesky 分解。

而且我已经尝试过 Conjugate Gradient，但不幸的是，如果矩阵 A 的条件数太大，它就无法收敛。

更新:我需要一种可以在并行框架(如 MPI)中运行的方法。所以我不能在当前迭代中使用需要 x[i] 的 Gauss-seidal。

我可以用什么样的方法来解决这类问题？谢谢:)

Answer 1

我猜测您的问题是由于矩阵向量积的计算不准确造成的。 (我从未见过共轭梯度完全无法减少残差，除非矩阵向量乘积很差。重启后的第一次迭代只是做最速下降。)

您可以尝试再次运行共轭梯度，但使用扩展精度或 Kahan summation或计算矩阵向量积时的东西。

或者，如果您的矩阵具有某种已知结构，您可能会尝试找到一种不同的方法来编写矩阵向量积，以减少计算结果中的舍入。如果我能看到你的矩阵，我也许可以在这里给出更具体的建议。