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我最近遇到了这段 Rabin-Miller 算法的代码,如描述的那样 here :
from random import randint
def _bits_of_n(n):
""" Return the list of the bits in the binary
representation of n, from LSB to MSB
"""
bits = []
while n:
bits.append(n % 2)
n /= 2
return bits
def _MR_composite_witness(a, n):
""" Witness functions for the Miller-Rabin
test. If 'a' can be used to prove that
'n' is composite, return True. If False
is returned, there's high (though < 1)
probability that 'n' is prime.
"""
rem = 1
# Computes a^(n-1) mod n, using modular
# exponentation by repeative squaring.
#
for b in reversed(_bits_of_n(n - 1)):
x = rem
rem = (rem * rem) % n
if rem == 1 and x != 1 and x != n - 1:
return True
if b == 1:
rem = (rem * a) % n
if rem != 1:
return True
return False
def isprime_MR(n, trials=6):
""" Determine whether n is prime using the
probabilistic Miller-Rabin test. Follows
the procedure described in section 33.8
in CLR's Introduction to Algorithms
trials:
The amount of trials of the test.
A larger amount of trials increases
the chances of a correct answer.
6 is safe enough for all practical
purposes.
"""
if n < 2:
return False
for ntrial in xrange(trials):
if _MR_composite_witness(randint(1, n - 1), n):
return False
return True
我知道 RM 测试应该采用 N,分解 N-1 = t*(2^s),然后尝试找到 a^t != 1 和 a^((2^r)t) ! = -1 对于所有 0 <= r < s
但是这个算法做了一些不同的事情。它部分让我想起了 Fermats 算法,我们在其中测试 a^(n-1) mod n == 1,因为它使用平方和乘法得到 a^(n-1) 但检查是否有任何中间结果是一致的 1国防部
我看不出这 2 个是等价的,你能解释一下为什么 (x^2==1 and x != 1 and x!=n-1) 可以作为充分条件吗?
谢谢!
最佳答案
如果我们找到一个与 1(模 n)一致的中间结果,并且之前的结果 x 不与 1 或 -1(即 n-1)模 n 一致,那么这个数字 x 是一个非平凡的平方1 模 n 的根(即一个数字 x 使 x ≠ -1, 1 mod n 但 x^2 = 1 mod n)。这意味着 n 是合数。
证明:为了自相矛盾,假设x^2 与1 模p 全等,x 不是1 或-1 模p,并且p 是质数。这相当于说 p 除 x^2 - 1 = (x-1)(x+1)。因此,由于 p 是质数,p 整除 x-1 或 x+1,这意味着 x 与 1 或 -1 模 p 全等。
这就是为什么 (x^2==1 and x != 1 and x!=n-1) 是一个充分条件——这直接意味着 n 是合数。因此我们可以提前停止算法以节省计算时间。
正如您的链接状态(有错别字),在 Cormen、Leiserson、Rivest 和 Stein 的《算法简介》第 31.8 节中可以找到对此的一个很好的解释,我的一些回答改编自那本书。
关于python - 使用模平方的 Rabin-Miller 素数测试算法是否正确?,我们在Stack Overflow上找到一个类似的问题: https://stackoverflow.com/questions/30541639/
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我是一名优秀的程序员,十分优秀!