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我必须以最佳方式解决以下问题。
输入数据是:
我需要找到一种方法来隔离一些圆圈,这些圆圈具有与任何“好”圆圈相比,前 N 个点中没有任何点位于所选圆圈或所选圆圈边缘的属性。
点数和圆数在100,000个量级。用每个点检查每个圆的明显解决方案具有 O(N * M) 的复杂性,对于 100,000 个圆和 100,000 个点,在具有 64 位 SSE3 单精度代码的 Core 2 Duo 上需要大约 15 秒。我与之竞争的引用实现对于相同的数据只需要大约 0.1 秒。我知道引用实现是 O(Nlog N + Mlog M)。
我想到了以下方式来优化我的算法。制作点数据的 2 个副本,并分别根据 x 坐标和 y 坐标对副本进行排序。然后仅使用位于 [(xc - r, yc - r); 定义的正方形中的点; (xc + r, yc + r)],其中 (xc, yc) 是“当前”圆的圆心,半径为 r。我可以使用二进制搜索找到该区间内的点,因为现在我使用的是排序数据。这种方法的复杂度应该是 O(Nlog N + Mlog^2 N),实际上它比引用文献更快但仍然慢得多。
我或多或少知道引用实现是如何工作的,但有些步骤我不明白。我将尝试解释我目前所知道的:
坐标为(Xc, Yc)的圆的半径为:
那是因为 (0, 0) 在圆的边缘。
对于位于圆外的点 P(x, y),必须满足以下不等式:
现在如果我们将 (1) 中的 Rc 代入 (2),然后在我们进行一些简单的计算后平方不等式,我们得到:
对于从输入数据中选择的任何 (x, y),对于给定圆 C(Xc, Yc),(3.1) 和 (3.2) 必须为真。
为了简单起见,让我们做一些符号:
我们可以看到,对于给定的圆 C(Xc, Yc),我们可以将 (3) 写为:
我们可以看到 E(Xc) 是关于 Xc 的线性函数,有两个参数——A(x, y) 和 B(x, y)。这意味着基本上 E(Xc) 在欧几里德空间中表示具有 2 个参数的线族。
现在我不明白的部分来了。他们说,由于上一段中所述的属性,我们可以使用 Envelope 算法在 O(1) 分摊时间而不是 O(N) 时间内计算 MIN() 和 MAX()。我不知道信封算法如何工作。
关于如何实现信封算法的任何提示?
提前致谢!
编辑:
问题不在于数学意义上的包络是什么——我已经知道了。问题是如何在比 O(n) 更好的时间内确定包络,显然它可以在分摊的 O(1) 中完成。
我有计算包络线所需的函数族,并且有一个包含所有可能参数的数组。如何以最佳方式解决最大化问题?
再次感谢!
最佳答案
关于algorithm - 包络算法优化——放置圆圈的最佳位置,我们在Stack Overflow上找到一个类似的问题: https://stackoverflow.com/questions/348005/
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