algorithm - Dijkstra 算法可以在权重为 0 的图上工作吗？

Question

如果存在一个加权图 G，并且所有权重都是0，Dijkstra算法是否仍然找到最短路径？如果是，为什么？

根据我对算法的理解，如果没有边权重，Dijsktra 的算法将像普通的BFS 一样运行，但我希望得到一些说明。

Answer 1

解释

根据算法的定义，Dijkstra 本身对 0 权重没有问题。它只会在负权重时出现问题。

因为在每一轮中，Dijkstra 都会结算一个节点。如果您稍后发现负权重边，这可能会导致到达该已解决节点的较短路径。然后节点需要未解决，Dijkstras 算法不允许(并且会破坏算法的复杂性)。如果您看一下实际的算法和一些插图，就会明白这一点。

Dijkstra 在这样一个全零图上的行为与所有边都具有不同但相同的值一样，例如 1(除了得到的最短路径长度)。 Dijkstra 将简单地访问所有节点，没有特定的顺序。基本上，就像普通的广度优先搜索。

---

详情

看看Wikipedia的算法描述:

 1 function Dijkstra(Graph, source):
 2
 3     create vertex set Q
 4
 5     for each vertex v in Graph:           // Initialization
 6         dist[v] ← INFINITY                // Unknown distance from source to v
 7         prev[v] ← UNDEFINED               // Previous node in optimal path from source
 8         add v to Q                        // All nodes initially in Q (unvisited nodes)
 9
10     dist[source] ← 0                      // Distance from source to source
11      
12     while Q is not empty:
13         u ← vertex in Q with min dist[u]  // Node with the least distance
14                                           // will be selected first
15         remove u from Q 
16          
17         for each neighbor v of u:         // where v is still in Q.
18             alt ← dist[u] + length(u, v)
19             if alt < dist[v]:             // A shorter path to v has been found
20                 dist[v] ← alt 
21                 prev[v] ← u 
22
23     return dist[], prev[]

负值的问题在于 15 和 17 行。当您删除节点 u 时，您就解决了它。也就是说，你说到这个节点的最短路径现在是已知的。但这意味着您不会再将 17 行中的 u 视为某个其他节点的邻居(因为它不再包含在 Q 中) .

对于负值，您稍后可能会发现到该节点的更短路径(由于负权重)。您需要在算法中再次考虑 u，并重新执行所有依赖于先前到 u 的最短路径的计算。因此，您需要添加 u 以及从 Q 中删除的所有其他节点，这些节点在返回 Q 的最短路径上有 u 。

特别是，您需要考虑可能通向目的地的所有边，因为您永远不知道某些讨厌的-1_000_000 加权边隐藏在哪里。

下面的例子说明了这个问题:

Dijkstra 将红色路径声明为从A 到C 的最短路径，长度为0。但是，还有一条更短的路径。它标记为蓝色，长度为 99 - 300 + 1 = -200。

使用负权重，您甚至可以创建更危险的场景，负循环。这是图中总权重为负的循环。然后，您需要一种方法来停止一直沿循环移动，无休止地降低当前的体重。

---

注意事项

在无向图中，权重为 0 的边可以被消除，节点可以被合并。它们之间的最短路径的长度始终为 0。如果整个图只有 0 权重，则该图可以只合并到一个节点。每个最短路径查询的结果都只是0。

如果在两个方向上都有这样的边，那么对于有向图也是如此。否则，您将无法进行优化，因为您会更改节点的可达性。